7 阈值分割
到目前为止，我们的处理对象一直是”图像”——一张灰度值的二维阵列。但产线真正关心的是”目标”：这颗芯片的引脚在哪里、这个孔的直径是多少、这块面板上有没有脏污。从像素的世界跨入目标的世界，第一步几乎总是分割（segmentation）——把属于目标的像素和属于背景的像素分开。而工业视觉中最常用、最快、也最容易被低估的分割手段，就是阈值分割（thresholding）：选一个灰度值 \(T\)，比它暗（或亮）的像素归为前景，其余归为背景，输出一幅黑白二值图像。
图 7.1 展示了一个典型场景：背光照明下的面板，深色胶带网格在明亮的导光板前成为清晰的剪影。一次自动阈值就把胶带网格完整地提取成了白色前景——不需要任何复杂算法。这正是 章节 4 中”恰当的打光能把问题简化为一次阈值分割”的兑现。但同一枚硬币的另一面是：阈值分割对灰度的依赖有多直接，它对照明变化的敏感就有多剧烈。本章用一组可量化的实验把这两面都讲清楚。
7.1 全局阈值与直方图
全局阈值（global thresholding）是阈值分割最朴素的形式：整幅图像共用一个阈值 \(T\)。以提取暗目标为例，
\[ g[n,m] = \begin{cases} 255, & f[n,m] \le T,\\[2pt] 0, & f[n,m] > T. \end{cases} \]
更一般的形式是带阈值（band thresholding）：给定区间 \([T_{\mathrm{low}}, T_{\mathrm{high}}]\)，灰度落在带内的像素为前景。单阈值只是 \(T_{\mathrm{low}}=0\)（或 \(T_{\mathrm{high}}=255\)）的特例。
\(T\) 选在哪里？答案藏在灰度直方图（histogram）里。如果目标与背景各自灰度均匀、对比明显，直方图会呈现两座山峰——前景一座、背景一座，中间隔着一道山谷，这就是双峰直方图（bimodal histogram）。把 \(T\) 放进谷底，两个群体就被干净切开。本章的合成实验场景正是这样设计的：\(480\times360\) 的图像上，灰度 160 的亮背景衬着 48 个 \(20\times20\) 像素的暗方块（灰度 60，类似背光下的网点标定板），叠加标准差 \(\sigma=6\) 的高斯噪声（固定种子，可复现），真值前景共 19200 像素。图 7.2 (a) 是均匀照明版本；图 7.2 (b) 是同一场景叠加水平照明渐变的版本——左端增益 \(\times 0.6\)、右端 \(\times 1.2\)，模拟单侧打光不均。
\(T\) 要放在谷底正中，而不是贴着某座峰的山脚。噪声 \(\sigma=6\) 时，两个群体各有约 \(\pm 3\sigma=\pm18\) 级的散布；\(T\) 离哪个峰太近，那个群体的”长尾”就会越界。60 与 160 之间取 \(T=110\)，距两峰各 50 级，余量充足。
固定阈值 \(T=110\)（带 \([0,110]\)）在均匀场景上的表现堪称完美：172800 个像素中误分类 0 个（图 7.3 (a)）。但换到渐变场景，同一个 \(T\) 立刻破产（图 7.3 (b)）：左端背景灰度被增益压到 \(160\times0.6\approx96\)，低于 110，于是图像左侧约 70 列背景整体落入阈值带——误分类 23728 像素（13.73%），且全部是背景被误判为前景的虚警（false positive）。
这组对照给出固定阈值的适用前提：照明稳定、对比可控。这两个条件不是算法给的，而是 章节 4 的打光设计给的——背光剪影、窄带滤光抗环境光、平场标定，都是在为”一个 \(T\) 用到底”创造条件。条件满足时，固定阈值是最快、最可预期的方案；条件不满足时，再精心手调的 \(T\) 也只是在为下一次照明波动埋单。
7.2 Otsu 自动阈值
手动选 \(T\) 依赖工程师盯着直方图调参。Otsu 方法（Otsu’s method）把这一步自动化：它遍历所有候选阈值，选出”把两个群体分得最开”的那一个。设灰度 \(i\) 的归一化直方图为 \(p_i\)，阈值 \(T\) 把像素分成两类，两类的占比与均值分别为
\[ \omega_0 = \sum_{i=0}^{T} p_i, \quad \omega_1 = \sum_{i=T+1}^{255} p_i, \quad \mu_0 = \frac{1}{\omega_0}\sum_{i=0}^{T} i\, p_i, \quad \mu_1 = \frac{1}{\omega_1}\sum_{i=T+1}^{255} i\, p_i. \]
Otsu 准则是最大化类间方差（between-class variance）：
\[ \sigma_B^2(T) = \omega_0\,\omega_1\,(\mu_0-\mu_1)^2, \qquad T^\ast = \arg\max_T \sigma_B^2(T). \]
直觉上，\((\mu_0-\mu_1)^2\) 奖励”两类的中心离得远”，\(\omega_0\omega_1\) 惩罚”一类大一类小”的失衡切分。由 章节 2 的方差分解可知，总方差 \(\sigma^2 = \sigma_W^2 + \sigma_B^2\)（类内方差加类间方差）是与 \(T\) 无关的常数，所以最大化类间方差等价于最小化类内方差——让每一类内部尽可能紧凑。
在均匀场景上，Otsu 自动选出 \(T=86\)，误分类同样为 0。图 7.4 显示了它的落点：双峰之间的谷底，与手调结果一样好，却不需要任何人工干预。照明整体变亮变暗时（例如光源老化），两座峰一起平移，Otsu 选出的 \(T\) 会自动跟着走——这是它对固定阈值的真正优势。
但请看渐变场景上的结果（图 7.5）：Otsu 选出 \(T=129\)，误分类 52475 像素（30.37%）——比固定阈值的 13.73% 还要糟一倍以上。原因不难理解：水平渐变把背景灰度从单一的 160 拉花成 \(96\) 到 \(192\) 的宽幅斜坡，直方图右峰被抹成一片连绵的高原，“双峰夹一谷”的结构不复存在。Otsu 仍然忠实地执行了类间方差最大化，但在畸变的直方图上，\(T^\ast=129\) 落进了被拉宽的背景模式内部——左侧约三分之一的背景灰度低于 129，整片沦为虚警。
“自动”不等于”自适应”。Otsu 自动的是”选 \(T\) 的动作”，不是”对空间变化的适应”——它仍然输出一个全局 \(T\)。直方图是把空间信息完全抹掉的统计量：照明渐变破坏的恰恰是”同一类目标灰度相同”这一前提，再聪明的直方图算法也无从补救。
这是本章最重要的教学点：Otsu 的隐含前提是直方图近似双峰。前提成立时它是免调参的利器；前提坍塌时它不仅不能救场，还会因为”看起来自动”而更具迷惑性——工程师往往要到产线批量误判后才意识到，自动选出的阈值从第一天起就选在了错误的位置。
7.3 自适应阈值
照明渐变的本质是：阈值应该随位置变化。自适应阈值（adaptive thresholding）正面回应这一点——不再用全局统计量，而是在每个像素周围开一个 \(K\times K\) 的局部窗口，用窗口内的统计量现场定阈值。最常用的形式是”局部均值减偏置”：
\[ T[n,m] = \mu_K[n,m] - \beta, \]
其中 \(\mu_K\) 是局部均值，\(\beta\) 是固定偏置。像素比自己邻域的平均水平暗超过 \(\beta\)，就判为（暗）前景。照明渐变在窗口尺度内近似恒定，会同时抬高像素值与局部均值，相减后被自动抵消——这正是全局方法做不到的”空间自适应”。偏置 \(\beta\) 则负责压制平坦区域的噪声：没有 \(\beta\) 时，均匀背景上约一半像素天然低于局部均值，会冒出漫天碎点。
在渐变场景上，局部自适应阈值（\(K=81\)、\(\beta=20\)）的结果见 图 7.6：误分类仅 41 像素（0.02%）——比固定阈值的 23728 和 Otsu 的 52475 低了三个数量级，左端最暗处与右端最亮处的方块被一视同仁地提取出来。
窗口必须明显大于目标，这是我们实测得到的硬法则：本实验中把核从 81 缩到 41，方块内部就开始被”掏空”——窗口大部分落在 \(20\) px 方块内部时，局部均值本身趋近方块灰度，中心像素不再比 \(\mu_K-\beta\) 更暗，于是方块腹地被判成背景，只剩一圈边框。目标 20 px、核 81 才稳定（SDK 的局部均值带中心加权，有效窗口比名义尺寸小）。
代价是引入了两个新参数。\(\beta\) 的下界由噪声定（应大于约 \(3\sigma\)，本例 \(\sigma=6\) 取 \(\beta=20\)），上界由目标对比度定。\(K\) 的法则见边注：窗口必须大于目标尺寸，否则目标内部会被掏空；同时窗口又要小于照明变化的尺度，否则退化回全局阈值。两头都要留余量。
最后把本章与 章节 4 的路线对照一下。面对照明不均，我们现在有两条等价的治理路线：路线一，先做阴影补正把背景拉平，再用全局阈值（章节 4 的方案）；路线二，跳过补正，直接上局部自适应阈值（本章方案）。两者的数学内核其实相同——都是”减去局部背景估计”，区别只在这一步发生在灰度域还是判决域。工程取舍是：若校正后的灰度图还要服务于测量、OCR 等其他算法，选路线一，一次补正全线受益；若只需要这一幅二值图，路线二少一道工序、少一次中间图像的内存往返。
四组实验汇总如下（总像素 172800，真值前景 19200）：
| 方法 | 场景 | 阈值 | 误分类（像素） | 误分类率 |
|---|---|---|---|---|
| 固定 \(T=110\) | 均匀 | 110（手动） | 0 | 0% |
| 固定 \(T=110\) | 渐变 | 110（手动） | 23728 | 13.73% |
| Otsu | 均匀 | 86（自动） | 0 | 0% |
| Otsu | 渐变 | 129（自动） | 52475 | 30.37% |
| 自适应 \(K=81\) | 渐变 | 逐像素 | 41 | 0.02% |
7.4 彩色图像二值化
阈值的思想可以直接推广到彩色图像：把单通道的”带 \([T_{\mathrm{low}}, T_{\mathrm{high}}]\)“扩展为每个通道一个带，三个带的交集就是前景——在 RGB 空间里这相当于用一个轴对齐的长方体框住目标颜色。RGB 的局限在于三个通道都混杂着亮度信息，照明一变，长方体就框不住了；实践中更稳的做法是先转到 HSV 空间，用色调（hue）通道选颜色、用饱和度（saturation）排除灰白区域，对亮度通道则放宽或不设限——颜色身份与照明强度因此解耦，对光强波动远比 RGB 框稳健。SciVision 的彩色二值化接口（SDK 手册 5.3 节）即按通道带阈值的方式工作。本章配套工程聚焦灰度实验，未包含彩色二值化的量化对比，此处仅交代原理。
7.5 SciVision 实现
本章的阈值算法由 SCIMV::SciSvThreshold 类提供。固定（手动）阈值的调用与配套工程一致：
SCIMV::SciSvThreshold th;
SciImage dst;
SciROI roi;
SciPoint tl(0, 0), br(W, H); // GenRect1 右下角为排他端点：全图须传 (W,H)
roi.GenRect1(tl, br);
// 带阈值 [0,110]：灰度落在带内的像素在输出中为白（255）
long rc = th.ManualThreshold(img, roi, 0, 110, SCI_THRESHOLD_TYPE_WHITE, 0, &dst);ManualThreshold(src, roi, lower, upper, lightOrDark, checked, dst) 中，lower/upper 是阈值带的上下界。lightOrDark 这个参数名很容易让人以为它选择”提取亮目标还是暗目标”，实测并非如此：它控制的是输出着色，而非目标选择——传 0（SCI_THRESHOLD_TYPE_WHITE）时带内像素输出为白（255）。用带 \([0,110]\) 提取暗目标时必须传 0，才能让目标在输出中为 255，与 AutoThreshold 的输出约定（前景为白）保持一致；传错的话二值图黑白颠倒，后续 章节 23 的连通域统计会把背景当成目标。
自动阈值（Otsu 与局部自适应）共用一个接口：
int t = -1;
// autoThresholdType=1：Otsu，自动选出的阈值经 t 返回（kernelSize/belta 不起作用）
rc = th.AutoThreshold(img, roi, SCI_THRESHOLD_TYPE_BLACK, 1, 3, 5, 0, &t, &dst);
// autoThresholdType=6：局部自适应，kernelSize=81 为窗口边长，belta=20 为偏置
rc = th.AutoThreshold(img, roi, SCI_THRESHOLD_TYPE_BLACK, 6, 81, 20, 0, &t, &dst);| 参数 | 含义 | 本章取值与说明 |
|---|---|---|
lightOrDark |
目标极性 | SCI_THRESHOLD_TYPE_BLACK（提取暗目标） |
autoThresholdType |
算法选择 | 1 = Otsu；6 = 局部自适应 |
kernelSize |
局部窗口边长 \(K\) | 81（须明显大于 20 px 的目标，41 会掏空方块） |
belta |
局部偏置 \(\beta\) | 20（应大于约 \(3\sigma\) 的噪声散布） |
value |
输出：自动选出的阈值 | Otsu 下返回所选 \(T\)（均匀场景 86、渐变场景 129） |
两个工程细节值得专门记录。其一是上文的 lightOrDark 语义。其二是 SciROI::GenRect1 的右下角为排他端点：全图 ROI 必须传 \((W,H)\)；若按”最后一个像素坐标”的直觉传 \((W-1,H-1)\)，最后一行与最后一列共 \(W+H-1=839\) 个像素会被排除在处理之外、保留原灰度——在二值图上是一圈不易察觉、却足以让逐像素验证翻车的”漏网边框”。生成本章全部实验图像的完整工程位于 code/thresholding/。
工业案例：背光测量的阈值漂移
某背光尺寸测量工位最初使用固定阈值提取工件剪影。运行数月后，测得尺寸出现系统性缓慢漂移——排查发现是背光源 LED 老化，亮度逐月下降，固定阈值切出的轮廓随之外扩，尺寸被一点点”量大”。改用 Otsu 后问题消失：光强整体衰减时直方图双峰一起平移，自动阈值跟着走，测量恢复稳定。然而某日产线突发批量误判：导光板局部沾染脏污，背景峰被拖出一条长尾，直方图双峰结构畸变，Otsu 选出的阈值一头扎进背景模式，整批工件轮廓全错——正是本章渐变实验的现场翻版。最终方案是 Otsu 加一道双峰性校验：每次分割前检查直方图两峰间距与谷深，指标越限即告警停判。“自动”必须配上”自检”，才敢在产线上无人值守。
7.6 小结
- 阈值分割是从像素到目标的第一步：一个（或一带）灰度阈值把图像切成前景与背景的二值图。它的上限由打光决定——照明稳定、对比可控时，固定阈值最快、最可预期（均匀场景误分类 0）；照明一旦渐变，同一阈值立刻失效（13.73%）。
- Otsu 用类间方差最大化 \(\sigma_B^2(T)=\omega_0\omega_1(\mu_0-\mu_1)^2\) 自动选阈值，能跟随照明的整体明暗变化；但它的隐含前提是直方图近似双峰。前提坍塌时它可能比手调更糟（渐变场景 30.37% 对 13.73%）——“自动”不等于”自适应”。
- 自适应阈值 \(T[n,m]=\mu_K[n,m]-\beta\) 用局部统计抵消照明渐变（误分类降至 0.02%）。窗口 \(K\) 必须明显大于目标尺寸，否则目标内部被掏空（核 41 失败、81 才稳）；\(\beta\) 须大于噪声散布。
- 治理照明不均有两条等价路线：先阴影补正再全局阈值（章节 4），或直接局部自适应阈值（本章）。中间灰度图还有他用时选前者，只要二值图时选后者。
- 二值图只是中点，不是终点：残留的孤立噪点与毛糙边缘交给 章节 8 的形态学清理，前景像素到目标的聚合与度量是 章节 23 的主题。
本章的 Otsu 方法出自其 1979 年的原始论文 (Otsu 1979)；各类阈值化方法的系统比较与定量评测，可参阅 Sezgin 与 Sankur 的综述 (Sezgin 和 Sankur 2004)；阈值分割在数字图像处理整体框架中的位置则见 Gonzalez 与 Woods 的教材 (Gonzalez 和 Woods 2018)。关于阈值分割及其与区域提取算法的系统衔接，可进一步阅读 Steger 等人的著作 (Steger, Ulrich, 和 Wiedemann 2018)。