21 几何测量
章节 14 拟合出的直线与圆，在产线眼中只是中间产物。质检报告上签字认可的从来不是”直线方向向量”或”圆的参数”，而是摄像头孔到顶边 47.8 px、孔的圆度 0.25 px、盖板四角是否方正（直角误差 0.09°） 这类可与图纸公差直接比对、可判定合格与否的数。从基元到这些数还要再走一级：几何测量（geometric measurement）——对拟合得到的点、线、圆套用精确的几何公式求距离、角度与交点，再按几何公差的定义评定平行度、圆度与直线度。完整的测量链是：图像 → 边缘点 → 几何基元 → 几何量 → 判定。本章关心两件事：每一级的误差如何传递到最终的数上；以及”带宽”类的几何公差量与”位置”类的尺寸量在统计性质上有何根本不同。
实验对象（图 21.1）是一块真实的手机盖板玻璃（Smart3「几何关系示例方案」样图，2592×1944 单通道灰度）：白色背景上一块竖置矩形盖板，外轮廓是暗色边框（bezel），四条干净的直边在四角以真实倒圆角相接；顶部边框内嵌一个圆形摄像头孔与一条听筒条形孔，底部有一块 Home 键贴合区。这是一类极常见的消费电子来料检测件——产线要测的正是孔位、边距、盖板内外尺寸、四角方正度与孔的圆度。本章把 小节 21.2 的全套几何公式在这块真实零件上跑一遍；与合成场景不同，真实零件没有解析真值，所以下文一律按实测值叙述，并以零件自身的几何自洽性（四边应构成近似矩形）作为测量正确性的交叉验证。
21.1 测量链与误差传递
把测量链逐级摊开：边缘点级的误差来自图像噪声与边缘模型的失配；基元级靠多点拟合做统计平均；几何量级是确定性的封闭公式，本身不产生新误差——输入基元差多少，输出几何量就差多少；判定级把几何量与图纸公差比较，前三级累积的误差预算直接决定判定的置信度（以及该在公差上留多少保护带）。所以分析一套视觉量测系统的精度，功夫全在前两级的误差传递（error propagation）上。
第一级是边缘点。经投影平均与抛物线插值（机制见 章节 14 与 章节 20）之后，单个边缘点沿法向的残余噪声记为 \(\sigma_e\)。本例可从拟合残差直接量出它的上界：顶边 60 个边缘点对 FitLine 最小二乘直线的全点 RMSE 仅 0.103 px（左、右长边分别 0.137、0.211 px）。这条 RMSE 里既有传感器噪声、也含真实直边自身的微小形状起伏，因此 \(\sigma_e \lesssim 0.1\) px 是一个保守上界——经过整条流水线，像素级的成像噪声被压到了十分之一像素以内。
第二级是拟合。\(N\) 个独立点拟合一条直线，参数误差按 \(1/\sqrt N\) 缩小；而对方向而言还有第二个杠杆——点集跨度 \(L\)。对均匀散布在跨度 \(L\) 上的 \(N\) 个点，最小二乘直线的方向标准差约为
\[ \sigma_\theta \approx \frac{\sigma_e}{L}\sqrt{\frac{12}{N}}, \]
\(L\) 在分母上：同样的点，量得越长，角度越准。代入本例的长边（\(\sigma_e\lesssim0.1\) px、\(N=90\)、\(L\approx1060\) px）得单条线 \(\sigma_\theta\approx 0.002^\circ\)，两条独立线的夹角再乘 \(\sqrt2\)，测量噪声底约 \(0.003^\circ\)。这个底很关键：实测左右两长边的夹角为 0.065°、上下两短边为 0.237°——都远高于 \(0.003^\circ\) 的噪声底，说明它们是真实零件的边并不严格平行（盖板冲切/贴合的真实几何偏差），而非测量噪声的随机抖动。测量把零件的真实形状分辨了出来，这正是误差预算分析的用途：先知道噪声底在哪，才能判断一个读数是真信号还是噪声。
像素与物理量：本章全部读数以像素（px）为单位。换算到毫米要再乘相机标定的比例因子（每像素对应的物理尺寸），那是 章节 5 的内容。真实样图未附标定，故本章只在像素域内做几何关系与公差带宽的相对评定，不编造物理真值。
基元提取本身沿用 章节 14 的流水线：顶、底两短边各用 60 条搜索线提点后 FitLine 最小二乘拟合；左、右两长边各用 90 条搜索线，并采用 x/y 交换工作法拟合（原因见 小节 21.4）；四条边的 ROI 都避开了四角圆角段，只落在直边主体上。摄像头孔用 EllipseLocator 沿 48 条径向搜索线一步定出，孔缘为白孔（内）暗框（外）的亮→暗跳变。
21.2 距离、角度与交点
基础几何量只需三个公式。点 \(\mathbf p\) 到过 \(\mathbf a\)、\(\mathbf b\) 两点直线 \(L\) 的点线距离：
\[ d(\mathbf p, L)=\frac{\lvert(\mathbf p-\mathbf a)\times(\mathbf b-\mathbf a)\rvert}{\lVert\mathbf b-\mathbf a\rVert}; \]
方向向量为 \(\mathbf u\)、\(\mathbf v\) 的两条直线的夹角（直线无向，取锐角）：
\[ \theta=\arccos\frac{\lvert\mathbf u\cdot\mathbf v\rvert}{\lVert\mathbf u\rVert\,\lVert\mathbf v\rVert}\in[0^\circ,90^\circ]; \]
交点则是两条直线参数方程联立的 2×2 线性方程组，系数行列式趋零意味着两线近平行、求交病态——工程接口因此都带一个平行判定门槛。
其中”角点”值得多说一句。这块盖板的四角是真实的倒圆角，图像里根本不存在一个尖锐的角点像素可供直接定位；工业上的标准做法是把角点定义为两条拟合直边的虚拟交点（virtual intersection）——它不必真的存在于工件上，倒圆角后的理论角点照样可测。两条边各由几十个边缘点平均而来，交点完整继承它们的精度。本例把这套公式在盖板上用了个遍：上下短边夹角、左右长边夹角、顶边与左边求交得左上角点、摄像头孔心到顶边与右边的边距、角点到孔心的跨件距离，以及由点集到对边距离均值给出的盖板内外宽高（图 21.2）。全部实测值见 表 21.1。
| 几何量 | 实测 | 说明 |
|---|---|---|
| 上下短边夹角（°） | 0.2365 | 真实非平行（≫0.003° 噪声底） |
| 左右长边夹角（°） | 0.0647 | 真实非平行 |
| 顶边⊥左边直角误差（°） | 0.0947 | 90°−89.9053°，左上角方正度 |
| 左上角点（px） | (957.475, 121.435) | 两直边虚拟交点 |
| 孔心→顶边距离（px） | 47.769 | 摄像头上边距 |
| 孔心→右边距离（px） | 129.780 | 摄像头右边距 |
| 角点→孔心距离（px） | 765.908 | 跨件点点距离 |
| 摄像头孔心（px） | (1721.930, 168.594) | 48 点拟合圆心 |
| 摄像头孔半径（px） | 17.051 | 拟合圆半径 |
| 盖板宽 左↔︎右（px） | 893.020 | 点集到对边距离均值 |
| 盖板高 顶↔︎底（px） | 1744.362 | 点集到对边距离均值 |
这张表的可信度来自几何自洽：四条边两两测得的夹角——上下 0.24°、左右 0.06°、顶⊥左直角误差 0.09°、顶⊥右 0.16°——都在零点几度内，确认四条独立拟合的边的确围成一个近似矩形；盖板宽 893 px、高 1744 px 也与轮廓暗区跨度一致。距离量则是真实的来料尺寸：摄像头孔上边距 47.8 px、右边距 129.8 px，正是这类盖板装配时摄像头开窗对位要卡的关键间隙。所有读数都停在像素域——换算物理尺寸要乘相机标定比例因子（章节 5）。值得强调的是：几何测量这一级是精确公式，表里每一个数的不确定度全部由边缘点噪声 \(\sigma_e\) 经拟合传递而来，公式本身一字不差。
21.3 平行度、圆度与直线度
尺寸之外，图纸上还有另一类要求，写在几何尺寸与公差（GD&T，geometric dimensioning and tolerancing）的框格里。它们的语言不是”测出多少”，而是公差带（tolerance zone）：被测要素必须完整落在某个给定宽度的区域内——平行度（parallelism）的带是与基准线平行的两条直线之间，直线度（straightness）的带是两条平行直线之间，圆度（roundness）的带是两个同心圆之间的环带。这套语言的出发点是装配功能：只要被测要素整体落在带内，不管它的具体形状长什么样，与配合件的装配就有保证。视觉测量评定它们的通用配方是同一个：取被测要素的边缘点集，对评定基准计算偏差，max−min 即为包容点集所需的最小带宽。真实零件的妙处在于：这些带宽里装的是货真价实的形状偏差，无需人为注入缺陷。
平行度。以左长边拟合线为基准，右长边 90 个边缘点到基准线的距离 max−min 为 1.487 px（跨度约 1060 px）；以顶边为基准，底边的平行度为 2.790 px（跨度约 670 px）。这两个数可以拆开来读：上下短边的平行度几乎全部来自那 0.237° 的真实夹角——\(670\times\tan(0.237^\circ)\approx2.77\) px，与实测 2.790 px 仅差 0.02 px，余下的才是底边自身的形状起伏；左右长边的 1.487 px 里，夹角贡献 \(1060\times\tan(0.0647^\circ)\approx1.20\) px，余下约 0.29 px 来自长边自身的弯曲。平行度是系统性倾斜与局部形状之和，且按 max−min 取极值，对基准的拟合误差也照单全收。
圆度。孔径与圆度是装配类工件最常见的一对判定项：前者决定配合间隙，后者决定开窗对位与受力是否均匀。本例摄像头孔的 48 个孔缘边缘点对拟合圆（半径 17.05 px）的径向偏差 max−min 为 0.252 px——这是一个真实的微小失圆量，并非合成缺陷。图 21.3 把径向偏差放大 60 倍画在名义圆上，可以看到真实孔缘并非完美圆：偏差以低阶起伏为主（轻微椭化加局部凸凹），下方与左下弧段略微外凸。这种”低阶为主”的失圆形状，正是冲切/激光开孔工艺的典型印记。需要提醒的是评定基准的角色：最小二乘圆对采样噪声最稳健，但其基准会被任何局部凸凹整体拉动，使失圆量的”账”以不均匀的方式摊到各段弧上——若某弧段有明显压伤，邻近完好弧段会相对新基准外鼓、正对面弧段内收（小节 21.4 的工业案例详述了由此引发的判定纠纷）。
ISO 圆度评定有多种基准圆：最小二乘圆（least-squares circle，LSC）、最小区域（minimum zone）圆、最小外接圆与最大内切圆。最小区域圆按定义给出最小带宽，是 GD&T 语义的本体；最小二乘圆计算最稳健、对采样噪声最不敏感，但带宽系统性偏大且基准会被局部缺陷拉动。报告圆度必须注明用的是哪一种。
直线度。左长边的法向偏差 max−min 为 0.624 px，右长边为 0.872 px（均为 90 点、跨度约 1060 px）。图 21.4 的偏差剖面（×40）显示两条边的真实形状：左边（上）较直、只有小幅高频起伏；右边（下）则带一道平缓的弓形弯曲外加一处局部小凸。这两条都是零件的真实边形，没有任何人为台阶——右边更弯也直接解释了上一段里”左右平行度 1.487 px 中有约 0.29 px 来自边形”的那部分。
带宽量是极值统计：采样点越多，噪声的极差期望越大，max−min 也随之缓慢增长——这与中心、角度等平均类量”点数越多越准”恰好相反。所以圆度、直线度的检测协议必须写明采样点数，否则两台设备的数没有可比性。
21.4 SciVision 实现
基础几何量由 SCIMV::SciSvGeometryMeasure 提供，每个 API 对应 小节 21.2 的一个公式：
SCIMV::SciSvGeometryMeasure gm;
double angleDeg = 0, d = 0;
rc = gm.IncludedAngle(t1, t2, l1, l2, /*mode 直线夹角*/1, &angleDeg); // 顶⊥左方正度
rc = gm.PointToLineDistance(holeCenter, t1, t2, &d); // 孔心->顶边
SciPoint corner;
rc = gm.LinesIntersection(t1, t2, /*lineType 直线*/0, l1, l2, 0,
/*parallelThresh*/7, &corner); // 倒圆角处的虚拟角点
double dMin = 0, dMax = 0; SciPoint pNear, pFar;
rc = gm.PointsToLineDistance(rightPts, l1, l2, &dMin, &dMax, &pNear, &pFar);
double width = 0.5 * (dMin + dMax); // 盖板宽（均值）
double parallelism = dMax - dMin; // 左|右平行度带宽直线一律用两个端点（SciPoint 对）表示。IncludedAngle 的 mode=1 取直线间夹角，结果落在 [0°, 90°]——顶边与左边近乎垂直时返回约 89.9°，方正度即 90° 与之之差。LinesIntersection 的 parallelThresh=7 是平行判定门槛：两线方向过于接近时求交病态，接口直接拒绝输出交点——本例顶边与左边近乎垂直，远离该门槛。PointsToLineDistance 一次返回点集到直线距离的最小值、最大值及对应点：均值即对边的名义距离（盖板宽/高），max−min 即平行度带宽。圆孔由 SciSvEllipseLocator::EllipseLocator 一步定位，四个输出点数组（拟合点/有效点/剔除点）都必须传实体，否则 rc=120001015。
两条工程提醒。其一，SciSvGDTTools 的 Roundness/Straightness 返回的是归一化 [0,1] 分数（越接近 1 越”好”），不是 GD&T 公差带宽：本章实测摄像头孔的圆度分数为 0.9964；而左、右两长边的直线度分数都是 1.000000——尽管它们的真实带宽明明是 0.624 px 与 0.872 px、相差近 40%，归一化分数却把二者抹成了同一个饱和值，根本无从据此对着图纸上”直线度 ≤0.02 mm”设阈值。分数与带宽之间也没有公开换算公式，只能作同型工件的相对趋势参考；若一定要用它做监控，须先拿一组已知带宽的标准样件标定出”分数—带宽”对应曲线。判公差的带宽值则一律从点数组自行计算 max−min（即本章正文的全部数字）。其二，FitLine 的输出距离数组 dstPtPositionArr 不是各点到所返回直线的带符号垂距，语义不透明，直线度必须自己写”点到直线带符号距离”（devToLine）再取极差。另有一个老坑顺带说明：FitLine 对严格竖直的点集会返回退化结果，左、右两条竖直长边因此先把所有点的 x/y 交换后拟合，再把所得直线端点换回。生成本章全部图像与数字的完整工程位于 code/geometric_measurement/。
工业案例：圆度评定的基准之争
某轴承厂的滚道圆度判定曾陷入僵局：客户入厂检验用圆度仪密集采样数千点、按最小区域法评定；产线视觉系统用几十个边缘点、按最小二乘圆评定。同一工件两个数——产线值系统性偏小约 15%（稀疏采样漏掉峰谷使测值偏小，其影响盖过了最小二乘基准本身偏大的反向效应），产线判合格的件被客户判退，双方各执一词数月。最终的解决方案不在算法而在协议：检测协议中明确写入评定方法（最小区域 vs 最小二乘）与采样点数，并为产线值设定经标定的折算余量。教训只有一句：圆度、直线度这类带宽量没有脱离评定方法的”真值”，报告几何量必须连同评定方法与采样条件一起报告。
21.5 小结
- 测量链是”图像 → 边缘点 → 基元 → 几何量 → 判定”：几何测量一级是精确公式、不产生新误差，最终精度全部由边缘点噪声 \(\sigma_e\) 经拟合（\(1/\sqrt N\)）传递而来；本章在真实盖板上测得边缘拟合 RMSE ≲0.1~0.28 px。
- 先定噪声底，再判真信号：长边方向误差 \(\sigma_\theta\approx(\sigma_e/L)\sqrt{12/N}\approx0.003^\circ\)；实测左右边非平行 0.065°、上下边 0.24° 都远在噪声底之上，是真实零件的几何偏差，不是抖动。
- 虚拟交点测倒圆角的角点：盖板四角是真实倒圆角，角点由顶边与左边的虚拟交点 (957.5, 121.4) 给出，并继承两边各几十点平均的精度。
- 带宽量（平行度/圆度/直线度）是极值统计且形状真实：左右平行度 1.487 px 可拆为夹角贡献 1.20 px + 边形 0.29 px；摄像头孔真实圆度 0.252 px、左右长边真实直线度 0.624/0.872 px——全部来自零件本身，无需合成缺陷。
- 关键量从原始点数组自行复算：SDK 的 GD&T 工具返回归一化分数（两条带宽差 40% 的边都得 1.000000），
FitLine的距离数组也非真实垂距——公差判定的数必须自己从点算起。
关于几何量的不确定度分析与亚像素测量的系统论述，可进一步阅读 Steger 等人的著作 (Steger, Ulrich, 和 Wiedemann 2018)。本章用到的平行度、圆度、直线度等几何公差，其符号语言与公差带定义由几何尺寸与公差（GD&T）标准规定：国际体系见 ISO 1101，给出形状、方向、位置与跳动公差的标注与解释规则 (International Organization for Standardization 2017)；北美体系见 ASME Y14.5，是同一套语义在工程图上的另一权威表述 (American Society of Mechanical Engineers 2018)。小节 21.3 与工业案例反复触及的”评定基准之争”——最小二乘圆与最小区域圆给出不同带宽——在形状误差拟合文献中有专门讨论，Moroni 与 Petrò 比较了各类最小区域拟合算法的原理与代价，可作为把本章 max−min 带宽接到规范化评定方法的入口 (Moroni 和 Petrò 2008)。