35 相位偏折术
把抛光的手机盖板玻璃、镜面不锈钢面板或者一块平面镜放到产线上，前几章建立的三维成像手段会集体失灵：结构光（章节 32）投出的条纹不再漫反射回相机，而是被镜面径直反射到别处；激光三角（章节 30）找不到稳定的散射光带；双目立体也无从匹配——镜面上看到的根本不是表面纹理，而是环境的倒影。光不在镜面上漫反射，所有依赖”看见表面被照亮”的方法都没了立足点。
然而镜面恰恰能做一件别的表面做不到的事：当一面镜子（mirror）用。如果让镜面去反射一块显示着正弦条纹的屏幕，相机透过镜面”照镜子”看到的，就是被表面起伏扭曲过的条纹。表面哪里稍微倾斜一点，反射到相机里的条纹就在那里偏移一点——条纹的扭曲量直接编码了表面的斜率（slope）。这就是相位偏折术（phase measuring deflectometry, PMD）：不去照亮表面测高度，而是把表面当反射镜，从条纹的相位偏移反推斜率。图 35.1 是被测镜面反射屏幕条纹得到的原始图像，浅浅的隆起与划痕状沟槽已经在规则条纹上留下了可见的局部畸变。
PMD 与结构光（章节 32）是一对对偶（dual）：结构光要求表面漫反射、直接测高度；PMD 要求表面镜面反射、直接测斜率。两者用的是同一台相移与解包裹机器，却服务于几何上相反的两类表面。本章几乎每一个特性，都能在结构光那一章找到镜像。
35.1 镜面反射与斜率编码
PMD 的几何由三个角色构成：发出条纹的屏幕（screen）、把条纹反射进相机的被测镜面（specular surface），以及成像的相机。屏幕在距镜面 \(L\) 处显示一幅空间正弦图样，相机的每条视线打到镜面上某点后，按反射定律折回屏幕，落在某个屏幕坐标上——这个坐标处的屏幕相位，就是该像素观测到的相位。
关键在于表面倾斜如何改变这条光路。设表面在某点的局部斜率为 \(s=\partial h/\partial x\)，即表面相对参考平面倾斜了一个小角 \(\alpha\approx s\)。反射定律告诉我们：表面法向转动 \(\alpha\)，反射光线会转动 \(2\alpha\)——这就是偏折术的2 倍角偏折律（deflection law）。光线在屏幕距离 \(L\) 处的横向落点因此平移了约 \(2L\tan\alpha\approx 2L\,s\)。于是相机在该像素观测到的，不再是正下方屏幕点的相位，而是平移了 \(2L\,s\) 之后那一点的相位：
\[ \varphi_{\text{obs}}(x)\;\approx\;\varphi_{\text{screen}}\!\big(x + 2L\,\tfrac{\partial h}{\partial x}\big). \]
“2 倍”来自反射定律：镜子转 \(\alpha\)，光线转 \(2\alpha\)。这也是为什么 PMD 对斜率异常灵敏——表面一个毫弧度的倾斜，在 \(L=200\) mm 外被放大成 \(2L\alpha=0.4\) mm 的条纹位移，相当于条纹周期 \(P=16\) mm 的 2.5%，相位上清晰可辨。几何本身自带一级放大。
把它和均匀屏幕相位 \(\varphi_{\text{screen}}(x)=2\pi x/P\) 相减，观测相位相对平面镜参考的偏移正比于斜率：\(\Delta\varphi = \varphi_{\text{obs}}-\varphi_{\text{ref}} = (2\pi/P)\cdot 2L\,s\)。换言之
\[ s \;=\; \frac{\partial h}{\partial x} \;=\; \frac{P}{2\pi\cdot 2L}\,\Delta\varphi . \]
这条式子是 PMD 一切性质的根源：它测的是斜率 \(\partial h/\partial x\)，不是高度 \(h\)。高度只能通过对斜率场作积分间接得到（小节 35.3）。这与结构光形成鲜明对照——结构光的相位直接正比于高度，PMD 的相位正比于高度的导数。导数对高频形貌敏感、对绝对量级迟钝，这一取舍贯穿全章：它让 PMD 在检测微小起伏时灵敏得惊人（小节 35.4），却也让绝对高度依赖易漂的积分。
35.2 相位测量复用
既然观测量是屏幕条纹的相位，求相位的机器就可以原样借用结构光那一套（小节 32.1）。屏幕沿 x 向显示 4 步相移条纹，相机采 4 帧 \(I_0\ldots I_3\)，包裹相位由四步相移公式手算：
\[ \varphi_{\text{wrap}} = \operatorname{atan2}\!\big(I_3-I_1,\; I_0-I_2\big), \]
和结构光一章一样，SciVision 的 SciSvPhaseMeasure::DecodePatterns（四步相移解码）在本 SDK 构建中惰性——返回码为 0 却输出空图。PMD 正是它的本职场景，例程仍用真实的 X+Y 双向条纹再探一次、如实记录其失效，随后整条相位链路全部手写（包裹相位 atan2 + 空间解包裹）。
调制度 \(B=\tfrac12\sqrt{(I_3-I_1)^2+(I_0-I_2)^2}\) 顺带量出条纹对比度，留待 小节 35.5 使用。由于偏折相位场光滑（载波约 0.08 rad/px，缺陷引入的偏折也不足 \(\pi\)），平坦镜面上单频空间解包裹（spatial unwrapping）就够了，无需结构光的双频层级法（小节 32.2）。x 向和 y 向各跑一套，得到两个方向的解包裹相位。
测量的最后一步是减去平面镜参考相位：单独渲染一组理想平面镜的相移图，解出其相位 \(\varphi_{\text{ref}}\)，与被测相位相减消掉载波与系统几何，剩下的 \(\Delta\varphi\) 直接换算成斜率场 \(s_x,\,s_y\)。图 35.2 是两个方向的斜率图。最值得玩味的是 x 向斜率图（图 35.2 (a)）上隆起的双极性签名（bipolar signature）：一个 50 μm 的高斯隆起在斜率图上不是一个亮斑，而是一正一负两个瓣——因为斜率是高度的导数，隆起的上坡为正斜率、下坡为负斜率，过峰顶时斜率穿零。实测隆起邻域内 x 向斜率在 \(-0.0146\) 到 \(+0.0141\) rad 之间摆动，与高斯隆起的理论峰值斜率 \(\pm 0.0143\) rad 吻合。右侧的划痕状沟槽则因沿 y 向延伸、只在 x 向有斜率，呈现为一条清晰的竖线。
35.3 斜率积分与高度
要得到高度，必须把斜率场重新积分回去——这与光度立体（章节 34）从法向场积分出高度是同构的问题：都拿到了表面梯度，都需要还原出标量高度场。最朴素的做法是沿路径累加梯形积分：先沿首列用 \(s_y\) 积分，再逐行用 \(s_x\) 积分得一条路径的高度；换一条路径（先首行 \(s_x\)、再逐列 \(s_y\)）再算一次，两条路径取平均以削弱噪声。表面光滑、噪声小，这个简易积分器无需上泊松解的复杂度即可胜任。
积分有个固有软肋：低频漂移。斜率噪声沿积分路径累加，会在高度图上积成缓慢起伏的”地形”，加上积分常数本身不定，PMD 的绝对高度与大尺度形貌并不可靠。这恰是与结构光互补之处——结构光绝对高度准、高频灵敏度差；PMD 反之。
图 35.3 是积分得到的高度图。定量上，例程用中心盘减外环基线测得隆起高 46.83 μm（GT 46.71、名义 50），用槽底减旁侧基线测得沟槽深 10.13 μm（GT 10.16、名义 10）——两者都逼近真值，残余偏差主要来自有限孔径的基线选取而非测量噪声。平坦区高度 RMS 误差仅 0.228 μm：斜率积分对逐像素噪声做了空间平均，把 \(1.6\times10^{-4}\) rad 的斜率噪声压成了亚微米的高度噪声。
35.4 灵敏度：为什么测斜率这么准
这是本章的核心。PMD 测斜率，而斜率是角度——角度量极易精测，因为屏幕距离 \(L\) 把微小倾角放大成了可观的条纹位移。把噪声推导一遍就看得很清楚。四步相移的相位噪声为 \(\sigma_\varphi=\sigma_N/(\sqrt2\,B)\)，测量与参考相减再放大 \(\sqrt2\)，得 \(\sigma_{\Delta\varphi}=\sigma_N/B\)，于是斜率噪声
\[ \sigma_{\text{slope}} \;=\; \frac{\sigma_N}{B}\cdot\frac{P}{2\pi\cdot 2L}. \]
代入 \(\sigma_N=2,\,B=80,\,P=16\) mm\(,\,L=200\) mm，理论值 \(\sigma_{\text{slope}}=1.592\times10^{-4}\) rad，与实测 \(1.643\times10^{-4}\) rad 一致。这个角度噪声小到什么程度？对一个底宽 \(w\)、高 \(h\) 的缺陷，其最大斜率约 \(4h/w\)；能被检出的条件是该斜率超过噪声，即 \(4h_{\min}/w\approx\sigma_{\text{slope}}\)，给出最小可测高度
\[ h_{\min}\;\approx\;\frac{\sigma_{\text{slope}}\,w}{4}. \]
代入实测 \(\sigma_{\text{slope}}\)：\(w=1\) mm 的缺陷 \(h_{\min}=0.041\) μm，\(w=5\) mm 时 0.205 μm，\(w=20\) mm 时 0.821 μm。窄而浅的微观缺陷能测到几十纳米——这是直接测高度的方法望尘莫及的。
对照就在 图 35.4。同一块表面、同一个 50 μm 隆起，左图是 PMD 斜率图、右图是结构光在其高度噪声底（ch32 实测 33.8 μm）下看到的样子。结构光的高度噪底几乎与 50 μm 隆起同量级，隆起淹没在颗粒噪声里、勉强可辨；PMD 的斜率图上隆起与沟槽却醒目清晰。量化下来：同一隆起，PMD 斜率信噪比 87:1，结构光高度信噪比仅 1.5:1，相差约 59 倍。
天下没有免费的灵敏度。PMD 对斜率（高频形貌）极敏感，代价是绝对高度靠积分、易漂（小节 35.3），对缓慢的大尺度起伏反而迟钝。结构光正相反。工程上常两者互补：结构光定大尺度面形，PMD 补微观高频缺陷。
35.5 镜面性的边界
PMD 的全部前提是镜面反射。表面一旦变粗糙，微面元把入射光散射开，镜面反射的条纹对比度就随之塌缩。例程用漫反射占比 \(\rho\) 扫描粗糙度，散射瓣对屏幕正弦图样做高斯卷积，有效对比度按 \(B_{\text{eff}}=(1-\rho)B\exp[-\tfrac12((2\pi/P)\cdot2L\,\sigma_\theta)^2]\) 衰减，相位噪声 \(\propto 1/B\) 随之爆炸：
| \(\rho\) | 对比度 \(B\) | 相位 RMS (rad) | 斜率 RMS (rad) | \(h_{\min}\) (w=5mm, μm) |
|---|---|---|---|---|
| 0.0 | 80.0 | 0.0255 | \(1.626\times10^{-4}\) | 0.203 |
| 0.3 | 47.7 | 0.0364 | \(2.314\times10^{-4}\) | 0.289 |
| 0.7 | 10.1 | 0.1449 | \(9.222\times10^{-4}\) | 1.153 |
从 \(\rho=0\) 到 \(0.7\)，对比度从 80 塌到 10，相位 RMS 涨了近 6 倍，最小可测高度从 0.20 μm 退化到 1.15 μm。图 35.5 的三幅条纹图把这一塌缩画得很直观：左幅条纹明锐、缺陷清晰，到右幅条纹已灰蒙蒙一片、信号几近埋没。这正是结构光那章调制度故事（小节 32.4）的镜像对偶——结构光要求表面足够漫反射、镜面区会因镜面高光饱和而失效；PMD 要求表面足够镜面、漫反射成分一多就对比塌缩。半镜面（semi-specular）表面对两者都是两难：太亮镜不动，太糙漫不灵，落在中间地带的表面往往两套方法都吃力。
35.6 SciVision 实现
整条 PMD 流水线复用了 ch32 的相位机器。如约定，SciSvPhaseMeasure::DecodePatterns 在 PMD 这一本职场景里仍惰性（返回 0、输出空图），例程用真实的 X+Y 双向条纹组再探一次、如实记录其失效，随后全部手写。关键的斜率提取与积分片段如下。
// 1. 四步相移包裹相位（x/y 各一套），减去平面镜参考相位 → 斜率场
double s = (double)im[3][i] - im[1][i]; // 2B*sin(phi)
double c = (double)im[0][i] - im[2][i]; // 2B*cos(phi)
phi[i] = std::atan2(s, c); // 包裹相位
// 解包裹后：Δφ = φ_obs - φ_ref，按 2 倍偏折律换算斜率（rad）
slope[i] = (uObs[i] - uRef[i]) * P_SCR / (TWO_PI * 2.0 * L_SCR);
// 2. 斜率两路径梯形积分 → 高度（与光度立体法向积分同型）
h1[i] = h1[i-1] + 0.5 * (sx[i] + sx[i-1]) * PX; // 路径一：逐行积 sx
h2[i] = h2[i-W] + 0.5 * (sy[i] + sy[i-W]) * PX; // 路径二：逐列积 sy
h[i] = 0.5 * (h1[i] + h2[i]); // 两路径平均削噪斜率换算的 P_SCR/(TWO_PI*2.0*L_SCR) 一项即 \(P/(2\pi\cdot2L)\)，把偏折相位差翻译成斜率；积分步长 PX 是像素物理尺度。一个标定要点：PMD 的几何精度系于屏幕—相机—参考面三者的相对位姿——屏幕到镜面距离 \(L\)、屏幕像素的物理尺度、相机内参都需事先标定（呼应 章节 5），任一项偏差都会按偏折律线性传入斜率。生成本章全部图像的完整工程位于 code/deflectometry/。
工业案例：手机盖板玻璃的微缺陷
抛光后的手机盖板玻璃要查的是亚微米级的微观凹凸：橘皮、抛光纹、浅划痕，高度起伏往往只有零点几微米。用结构光直接测高度，33 μm 量级的高度噪底把这些缺陷彻底淹没，根本无从判别；改用 PMD 测斜率，几何上的 2 倍偏折律加屏幕距离的放大，把亚微米的高频起伏放大成清晰可辨的斜率信号，缺陷一目了然。但盖板并非处处镜面：边缘倒角、丝印油墨区是漫反射或半镜面，条纹在那里对比塌缩、相位噪声爆炸，必须用模板单独划出、另作处理，不能与镜面区一锅煮。教训很直接：镜面或类镜面表面的微观形貌检测，PMD 的斜率灵敏度是结构光给不了的；但 PMD 的命门也在镜面性——非镜面区要先识别、再隔离。
35.7 小结
- PMD 把镜面当镜子：让被测镜面反射屏幕条纹，从条纹相位偏移反推表面斜率——专治结构光、激光、双目都失效的镜面物体，是结构光的几何对偶。
- 2 倍偏折律是一切的根源：表面倾斜 \(\alpha\) 使反射光偏转 \(2\alpha\)，\(\varphi_{\text{obs}}\approx\varphi_{\text{screen}}(x+2L\,\partial h/\partial x)\)。PMD 测的是斜率而非高度，高度需对斜率场积分（与光度立体同构），代价是绝对高度易漂。
- 测斜率所以极灵敏：\(h_{\min}\approx\sigma_{\text{slope}}w/4\)，\(w=5\) mm 时仅 0.205 μm。同一 50 μm 隆起，PMD 斜率 SNR 87:1 对结构光高度 SNR 1.5:1，约 59× 增益——PMD 放大高频形貌。
- 镜面性是硬边界：表面变粗糙则条纹对比塌缩、相位噪声爆炸（\(\rho=0.7\) 时 \(h_{\min}\) 退化 5×），这是结构光调制度故事的镜像；半镜面表面对两套方法都为难。
- 复用相位机器、注意标定：相移与解包裹沿用 ch32（
DecodePatterns惰性、手写），精度系于屏幕—相机—参考面几何标定。
相位偏折术测量镜面自由曲面的开创性工作见 Knauer、Kaminski 与 Häusler 的论文 (Knauer, Kaminski, 和 Häusler 2004)；该领域的原理、标定与应用进展由 Huang 等人做了全面综述 (Huang 等 2018)。偏折术与镜面表面三维测量的工程论述另可参阅 Steger 等人的著作 (Steger, Ulrich, 和 Wiedemann 2018)。