13 边缘检测

工业图像里信息最密集的地方，是灰度发生不连续的地方：工件与背景的交界、孔的轮廓、字符的笔画、划痕的两侧——几乎所有定位与测量所需的几何信息，都由这些边缘（edge）承载。平坦区域的灰度会随照明漂移，边缘的位置却相对稳定——视觉测量因此更信赖边缘。章节 14 解决的是”已知边缘大致在哪，沿搜索线把它精确定位”的一维问题；本章回答更基础的问题——当我们事先不知道边缘在哪里时，如何从整幅图像中把所有边缘找出来，得到一张二维的边缘图（edge map）。边缘图是轮廓分析、形状匹配以及章节 15 的霍夫变换等后续算法的标准输入。

本章的实验贯穿一幅 480×360 的合成场景（图 13.1）：灰度 80 的背景上，上方放着一对强对比图形——矩形与圆，灰度 180（对比 100）；下方是一对弱对比图形，灰度 100（对比仅 20）；两列图形之间夹着一条竖直纹理带，是幅度 ±5、周期 12 px 的二维正弦纹理（模拟拉丝、布纹等表面纹理）；全图叠加标准差 \(\sigma=8\) 的高斯噪声（随机种子固定，保证可复现）。强边缘、弱边缘、纹理与噪声同场竞技——好的边缘检测器应当报告前两者、拒绝后两者。

图 13.1: 合成测试场景（480×360）：背景灰度 80；上方为强对比矩形与圆（灰度 180，对比 100），下方为弱对比矩形与圆（灰度 100，对比 20）；中部竖直条带为幅度 ±5、周期 12 px 的正弦纹理；全图叠加 \(\sigma=8\) 的高斯噪声。

13.1 梯度与一阶算子

边缘是灰度沿某个方向的快速变化，而”变化率”正是导数。对二维图像，把水平与垂直两个偏导数合在一起就是梯度（gradient）\(\nabla f = (g_x, g_y)\)：它的方向指向灰度上升最快的方向，模长衡量变化的剧烈程度。离散图像没有真正的导数，只能用邻近像素的差分近似。最常用的近似是 Sobel 算子——一对 \(3\times 3\) 卷积核：

\[ h_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad h_y = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}. \]

\(h_x\) 在水平方向做中心差分、在垂直方向做 \([1\ 2\ 1]\) 加权平滑；\(h_y\) 恰好相反。差分与平滑的方向相互垂直——求导本身会放大噪声，先在垂直于求导的方向上平均一下，是用章节 6 的手段给差分”上保险”。

Sobel 核是可分离的：\(h_x = [1\ 2\ 1]^{\mathsf T} \otimes [-1\ 0\ 1]\)，即”垂直平滑 × 水平差分”。把平滑部分换成 \([1\ 1\ 1]\) 就是 Prewitt 算子，换成 \([3\ 10\ 3]\) 则是旋转对称性更好的 Scharr 算子——骨架都是”平滑一个方向、差分另一个方向”。

两个分量给出梯度的幅值（magnitude）与方向（direction）：

\[ A = \sqrt{g_x^2 + g_y^2}, \qquad \theta = \operatorname{atan2}(g_y,\, g_x). \]

幅值回答”像不像边缘”，方向回答”边缘往哪走”（梯度方向与边缘走向垂直），Canny 流水线两者都要用。

先看分量的方向选择性。图 13.2 是对测试场景做 \(3\times 3\) Sobel 的两个带符号分量（显示时偏置 128、缩放 1/4：亮于中灰为正、暗于中灰为负）。\(g_x\) 只点亮竖直边缘：矩形的左缘为正（从 80 跨入 180，灰度上升）、右缘为负，圆环则左亮右暗——同一个圆，两侧的梯度方向相反；矩形的上下边缘在 \(g_x\) 中完全消失。\(g_y\) 的行为恰好转置：只见水平边缘，上缘正、下缘负。弱对比图形的响应只有强图形的 1/5，在两幅图中都很黯淡——边缘响应与对比度成正比，这个朴素的事实是后面一切阈值问题的根源。

把两个分量合成幅值，方向信息消失、所有边缘一视同仁地变亮，得到图 13.3——这是 SDK 的 SobelAmplitude 直接输出的结果。强轮廓清晰明亮，弱轮廓依稀可辨，背景上则铺满了噪声的颗粒状响应：求导放大了噪声，单凭一阶算子我们只得到一张”边缘可能性”的灰度图，离干净的边缘图还差关键的几步。

图 13.3: Sobel 梯度幅值（SDK `SobelAmplitude`，SUM_SQRT 合成）。强轮廓明亮、弱轮廓黯淡，背景上遍布噪声引起的颗粒状响应。

13.2 二阶算子：Laplace

另一条思路是二阶导数。拉普拉斯算子（Laplacian）是两个方向二阶导数之和 \(\nabla^2 f = \partial^2 f/\partial x^2 + \partial^2 f/\partial y^2\)，8 邻域离散核为

\[ h = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & -8 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \]

它的卖点是过零（zero crossing）定位：跨过一条阶跃边缘，一阶导数是一个单峰，二阶导数则在峰的两侧各有一个极值、恰好在边缘位置穿过零——检测过零点，理论上可以得到天然封闭、单像素宽的边缘轮廓，且无需选择方向。

实测却给这条思路泼了冷水。图 13.4 是 SDK Laplace（\(3\times 3\)、8 邻域核、输出绝对值）对测试场景的响应：整幅图被噪声颗粒淹没，强轮廓只剩隐约可见的双线——二阶导数在边缘两侧各有一个极值，绝对值显示下就是平行的两道响应，夹着中间真正的过零位置。弱轮廓则完全沉入噪声。两个原因叠加：其一，二阶差分对高频噪声的放大远甚于一阶差分，\(\sigma=8\) 的噪声经它一搅，有效信号荡然无存；其二，拉普拉斯不提供方向信息，后续无法像梯度那样沿边缘法向做精细处理。这就是工业实践中一阶算子占绝对主导的原因——二阶算子的理论优雅，抵不过对噪声的脆弱。

让二阶算子实用化的经典补救是 LoG（Laplacian of Gaussian）：先高斯平滑再求拉普拉斯，等价于用一个”墨西哥草帽”形的核做一次卷积；其差分近似 DoG（两个不同 \(\sigma\) 的高斯之差）至今活跃在斑点检测与 SIFT 特征中。

图 13.4: Laplace 响应（\(3\times 3\)、8 邻域核、绝对值输出）。噪声被二阶差分强烈放大，强轮廓仅剩隐约的双线响应，弱轮廓完全淹没。

13.3 Canny 流水线

把一阶算子的输出变成一张干净、单像素宽、连通的边缘图，公认的标准答案是 Canny 算法 (Canny 1986)。Canny 把”好的边缘检测”表述为三条准则——检测好（不漏不虚）、定位准、单一响应（一条边只报一次），并推导出近似最优的实现：一条四步流水线。

第一步：高斯平滑。求导放大噪声，所以先用高斯滤波（本例 \(3\times 3\)、\(\sigma=0.8\)）把噪声压一压。\(\sigma\) 是检测尺度的旋钮：越大越抗噪，但相邻的边会被糊在一起，定位也越不精确。

第二步：梯度计算。对平滑后的图像做 Sobel，得到幅值 \(A\) 与方向 \(\theta\)（图 13.5 (a)）。注意此时强轮廓是好几个像素宽的亮带——平滑把阶跃摊开了，梯度峰也随之变宽。

第三步：非极大值抑制（non-maximum suppression，NMS）。梯度幅值在垂直于边缘的方向上呈山脊状，真正的边缘只应在脊线上。NMS 的做法是：把每个像素的梯度方向量化到 4 个扇区（水平、45°、垂直、135°），沿梯度方向取两侧各一个邻居比较幅值，只有当中心不小于一侧且严格大于另一侧时才保留，否则置零。比较的不对称（一侧用 \(\ge\)、一侧用 \(>\)）是刻意的：当脊顶出现并列平台时只保留一侧，保证细化结果是单像素。图 13.5 (b) 中，几个像素宽的亮带已被削成一条细脊——但噪声的局部极大值同样幸存了下来，NMS 只管”细”，不管”真”。

第四步：双阈值滞后连接（hysteresis thresholding）。用一个阈值区分边缘与噪声注定顾此失彼，Canny 用两个：幅值 \(\ge\) 高阈值的像素是种子——足够强，确信是边缘；幅值在低、高阈值之间的像素是候选——自身不足为凭，但若与种子 8 邻域连通，就被接纳为边缘的延续。实现上从所有种子出发做区域生长，长进所有幅值 \(\ge\) 低阈值的连通像素。直觉很清楚：贴着强边缘的弱响应，多半是同一条边对比渐弱的部分；孤立的弱响应，多半是噪声。强者背书、弱者跟随，一条对比时强时弱的轮廓才能完整连通地保下来。

最终结果图 13.5 (c) 共 2163 个边缘像素：四个图形的轮廓全部保留、单像素宽、几乎完全连通，弱对比的矩形与圆也完整闭合。作为对照，跳过 NMS 与滞后连接、直接对梯度幅值做单阈值二值化（阈值取同样的 60），得到图 13.6：4064 个边缘像素，将近两倍。多出来的像素全是浪费——强轮廓是 2～4 px 的粗带（梯度峰有宽度，单阈值把整个峰顶都切了进来），弱轮廓则碎裂成断断续续的虚线（幅值在阈值上下波动，过线的留、不过线的断）。粗细不均、时断时续的边缘图对后续的轮廓跟踪与几何拟合是糟糕的输入；NMS 解决”粗”，滞后连接解决”碎”——这正是 Canny 后两步各自的价值。

图 13.6: 对照：对梯度幅值直接做单阈值二值化（阈值 60），4064 px。强轮廓粗达 2～4 px，弱轮廓碎裂成虚线——对比图 13.5 (c) 的 2163 px 单像素连通结果。

13.4 阈值的工程选择

Canny 把阈值从一个变成两个，选择的责任也加倍。两个失败方向都值得亲眼看一遍（图 13.7）。

把阈值对降到（8, 24），得到图 13.7 (a)：64077 个边缘像素——是正确结果的 30 倍。噪声的梯度响应大面积越过低阈值，又借着滞后连接彼此勾连，整幅图变成一张密网；中部纹理带的正弦网格也悉数现形。这里有一个值得说破的设计细节：本场景的纹理幅度 ±5、周期 12 px，其梯度幅值峰值实测约 19，恰好压在默认低阈值 20 之下——所以在（20, 60）的结果里纹理区干干净净，而在（8, 24）下它与噪声一起涌出。真实产线上的拉丝、喷砂、布纹表面都扮演着这条纹理带的角色：它们是不是”边缘”，完全取决于你的阈值画在哪里。

反方向把阈值对抬到（40, 120），得到图 13.7 (b)：只剩 918 个边缘像素，图面倒是干净至极——但弱对比的矩形与圆整体消失。对比 20 的边缘经平滑后梯度幅值不足 120，连一颗种子都产生不了，滞后连接巧妇难为无米之炊。漏检在检测任务里通常比虚检更致命：虚检还能靠后续筛选补救，漏掉的目标则再也回不来了。

工程上的选择法则可以归纳为两步。第一步定高阈值：取噪声梯度水平的 3～4 倍。在图像的空白区域统计梯度幅值的典型水平（如均值加三倍标准差，或高分位数），高阈值锚定在它的 3～4 倍上——这保证种子几乎不可能由噪声产生。第二步定低阈值：取高阈值的 1/2 到 1/3 作起点。低阈值管的是轮廓的连通性，太接近高阈值则滞后连接名存实亡，太低则噪声搭桥。本例的（20, 60）正是按此法则取的：\(\sigma=8\) 的噪声经平滑后梯度幅值大体在 15 上下，高阈 60 约为其 4 倍，低阈取高阈的 1/3。最后在线上用真实图像微调——法则给的是出发点，不是终点。

这与章节 7 的直方图选阈在思想上同源：那里是对灰度分布选阈值分离前景与背景，这里是对梯度幅值分布选阈值分离边缘与噪声。对象换了，“看分布、找分界”的方法论没换。

13.5 亚像素与展望

Canny 输出的边缘像素只有整数坐标，定位精度被钉死在 1 px。对识别与计数这够用了，对测量则远远不够——一套 10 μm/px 的系统，1 px 的量化误差就是 10 μm。好在补救的代价很低：NMS 比较的恰是沿梯度方向的三个幅值 \(g_{-1}, g_0, g_{+1}\)，对它们做抛物线插值即可把脊顶位置精确到亚像素（subpixel）——这正是章节 14 在一维剖面上用过的同一个顶点公式。沿轮廓逐点插值，像素链就升级为亚像素轮廓。在工业实践中，若只需测量局部的边或孔，更常用章节 20 的卡尺工具直接在 ROI 内做一维亚像素定位，全图边缘检测则用于事先不知道目标在哪的场合。

SciVision SDK 还提供了一类与 Canny 互补的亚像素提取器：SciSvExtractLinesGauss，它实现的是 Steger 式的曲线结构检测 (Steger 1998)。注意它找的不是阶跃边缘而是线——有宽度的脊或谷，例如划痕、引线、涂胶轨迹。ExtractLinesGauss 基于高斯导数直接输出亚像素精度的中心线轮廓数组，并为每条线附带属性：方向 angle、响应强度 response、左右半宽、不对称度与对比度。参数上能看到熟悉的影子：sigma 是检测尺度，lowThresh/highThresh 是滞后双阈值——与 Canny 同一思想；lineModel 在高斯线、条形线、抛物线三种剖面模型中选择。配套的 CalculateParameter 还能由预期线宽与对比度反推 sigma 与双阈值，省去手工整定。本章未对它做实验，仅作指引：当你的目标是”一条有宽度的线”而不是”一个灰度台阶”时，应当想起它。

13.6 SciVision 实现

本章用到的算子由 SCIMV::SciSvFilter 提供：

SCIMV::SciSvFilter f;
SciImage amp, lap, smooth;
SciROI roi;
SciPoint tl(0, 0), br(W, H);     // GenRect1 右下角为排他端点：全图传 (W, H)
roi.GenRect1(tl, br);

// Sobel 梯度幅值：sobelType=SUM_SQRT(1) 即 sqrt(gx^2+gy^2)，kernelSize=3（高斯预平滑核大小）
long rc = f.SobelAmplitude(img, roi, &amp, SCIMV::SUM_SQRT, 3);
// Laplace：3x3 核，filterMask=1（8 邻域核），resultType=0（输出绝对值）
rc = f.Laplace(img, roi, &lap, 3, 1, 0);
// Canny 预平滑：3x3 高斯，sigma=0.8
rc = f.Gaussian(img, roi, &smooth, 3, 3, 0.8, 0.8);

SobelAmplitude 的 sobelType 选择幅值合成方式，SUM_SQRT 即标准的平方和开方；kernelSize=3 是内部高斯预平滑核的大小（取值范围 [1,11]），与 Sobel 微分核大小无关。Laplace 的 filterMask=1 选择 8 邻域核（中心 \(-8\)），resultType=0 输出绝对值——图 13.4 的双响应正源于此。

SDK 也有一个一步到位的 Canny(srcImage, ROI, dstImage)——但它没有任何阈值参数，高低阈值全部内置，无法按场景整定，自然也做不了小节 13.4 的敏感性实验。本章因此手写了 NMS 与滞后连接（完整代码见示例工程）——这恰好是最值得亲手写一遍的部分。产线代码若需要可控阈值的 Canny，同样建议自持这两步：梯度与平滑交给 SDK，决策逻辑留在自己手里。

还有一个必须如实记录的坑：当前版本的 SciSvFilter::Gaussian 无论传何种 ROI，都会损坏输出图像的最右侧 1～2 列（核为 3 时末 2 列被置零）。被置零的列与相邻列之间形成对比 80 以上的假台阶，在边缘图上表现为一条贯穿全高的假边缘。示例工程的对策是用最后一个有效列向右复制修补：

// SDK 缺陷规避：Gaussian 输出最右 2 列为 0，复制最后有效列填补
for (int r = 0; r < H; ++r) {
    smooth[r * W + W - 2] = smooth[r * W + W - 3];
    smooth[r * W + W - 1] = smooth[r * W + W - 3];
}

生成本章全部图像与统计数字的完整可运行工程位于 code/edge_detection/，所有边缘像素计数（4064 / 2163 / 64077 / 918）均为程序实际输出。

工业案例：玻璃边部崩缺检测的阈值整定

某玻璃深加工产线用 Canny 提取边部轮廓，再检查轮廓的局部缺口判定崩边。高低阈值在装机验收时按当时图像整定后固化。数月后夜班漏检率上升：LED 光衰叠加夜间环境光偏低，图像对比下降，弱小崩缺的梯度幅值跌破固化的高阈值，种子无从产生。改造为每班自动整定：开班时在边部旁的空白区域估计噪声梯度水平（取梯度幅值的高分位数），高阈值 \(=K\times\) 该估计（\(K\approx 3.5\)），低阈值取高阈值之半。此后历经数次灯组老化与更换，漏检率保持稳定。教训：梯度阈值衡量的是”信号比噪声强多少”，固定绝对值会随照明衰老悄然失效——阈值应当锚定噪声，而不是锚定某一天的好光照。

13.7 小结

边缘是灰度的不连续，由梯度刻画：Sobel 用”一个方向差分、垂直方向平滑”的一对 \(3\times 3\) 核近似梯度，幅值定”强不强”、方向定”往哪走”；边缘响应与对比度成正比，这是一切阈值问题的根源。
二阶算子理论优雅、实战脆弱：Laplace 的过零定位在 \(\sigma=8\) 的噪声下沦为满屏颗粒加双线响应，且不提供方向信息——工业边缘检测由一阶算子主导。
Canny 四步各司其职：高斯平滑抗噪、梯度算”可能性”、NMS 把响应带削成单像素细脊、滞后阈值用”强者背书、弱者跟随”保住时强时弱的连通轮廓。实验中同阈值的单阈值化输出 4064 px 的粗碎边缘，Canny 输出 2163 px 的单像素连通轮廓。
阈值锚定噪声：高阈值取噪声梯度水平的 3～4 倍，低阈值从高阈值的 1/2～1/3 起步，再在线微调。本章实验中（8, 24）让噪声与纹理淹没结果（64077 px），（40, 120）让弱轮廓全军覆没（918 px）。
测量要亚像素：对 NMS 的三点幅值做抛物线插值即得亚像素边缘；线状结构（划痕、引线）则可用 Steger 式的 ExtractLinesGauss 直接提取亚像素中心线及宽度、对比度等属性。

边缘检测的两篇奠基文献值得回到原典：Canny 从最优性准则推导出本章四步法的经典论文 (Canny 1986)，以及 Marr 与 Hildreth 为二阶过零检测（LoG）奠定理论基础的工作 (Marr 和 Hildreth 1980)。关于边缘与线的亚像素提取、检测尺度选择及其精度分析的系统论述，可进一步阅读 Steger 等人的著作 (Steger, Ulrich, 和 Wiedemann 2018)。