32 结构光三维成像
双目立体视觉（章节 31）的命门在于”找对应”：左右两幅图必须能在同名点上匹配，而匹配靠的是表面纹理。可工业现场偏偏有大量缺纹理的对象——抛光的金属面、注塑件的均匀漆面、白色陶瓷，在它们身上每个像素长得都一样，匹配算法无从下手，视差图上是一大片空洞。既然被测物自己不长纹理，那就主动投上去。结构光（structured light）的核心思想正是如此：用投影仪向物体表面打出一组已知的、可控的明暗图案，让它充当”人造纹理”。当图案落在起伏的表面上，会随高度发生形变，相机拍下这形变，反解出每一点的高度。在所有可编码的图案里，正弦条纹 + 相移是工业三维测量的主力——它把高度信息编码进条纹的相位，而相位可以做到亚像素、逐像素的稠密重建。图 32.1 是本章贯穿始终的一组四步相移条纹。
为什么用正弦条纹而不是二进制格雷码？格雷码每个像素只编码”黑/白”，分辨率受条纹最细线宽限制；正弦相位是连续量，配合相移可以解算出像素内部的小数相位，精度高出一两个数量级。代价是相位有 \(2\pi\) 周期模糊，必须解包裹——这正是本章 小节 32.2 要解决的问题。
32.1 相移法原理
设投影仪打出的是空间正弦条纹，相机在像素 \((x,y)\) 处采到的灰度可写成
\[ I_k(x,y) = A(x,y) + B(x,y)\cos\!\big(\varphi(x,y) + k\,\tfrac{\pi}{2}\big), \qquad k=0,1,2,3. \]
这里 \(A\) 是背景光（直流分量，DC component），\(B\) 是条纹调制度（modulation）即正弦的幅值，\(\varphi\) 是我们真正想要的相位（phase）——它编码了该点的高度。我们连续投四幅条纹，每幅把初相整体平移 \(\pi/2\)（这就是”四步相移，four-step phase shifting”），于是同一像素拿到四个方程，未知数恰好是 \(A\)、\(B\)、\(\varphi\) 三个。把四式两两相减：
\[ I_3 - I_1 = 2B\sin\varphi, \qquad I_0 - I_2 = 2B\cos\varphi. \]
相除取反正切，\(A\) 和 \(B\) 同时被消掉，只剩相位：
\[ \varphi(x,y) = \operatorname{atan2}\big(I_3 - I_1,\; I_0 - I_2\big). \]
这条公式是相移法的全部精华。值得反复体味的是它的鲁棒性来源：\(\varphi\) 只取决于四个强度的差与比，与背景光 \(A\)、与条纹亮度 \(B\) 都无关。换句话说，相机增益漂移、环境光起伏、被测面反照率高低，都不会改变解出的相位——它们只改变 \(A\) 和 \(B\)，而这两者已被消去。这与 章节 17 中”梯度方向不随光照增益改变”是同源的工程智慧：把信息编码进对增益不变的量里，测量才稳。强度本身是脆弱的，相位才可靠。
\(\operatorname{atan2}\) 的值域是 \([-\pi,\pi)\)，所以解出的相位是包裹相位（wrapped phase）——真实相位每超过一个 \(2\pi\)，就被折回到这个区间，形成锯齿。图 32.2 展示了这一点：连续起伏的高度场，在包裹相位图上变成一条条等相位带，带与带之间是从 \(+\pi\) 陡降到 \(-\pi\) 的”断崖”。这些断崖不是真实的不连续，而是 \(\operatorname{atan2}\) 周期性的人为产物，下一节要把它们抹平。
32.2 相位解包裹
要把包裹相位 \(\varphi\in[-\pi,\pi)\) 还原成连续的绝对相位（absolute phase）\(\Phi = \varphi + 2\pi n\)，必须逐像素定出整数条纹级数（fringe order）\(n\)。最朴素的做法是空间解包裹（spatial unwrapping）：沿着图像扫描，相邻像素相位差若突然跳过 \(\pi\)，就判定跨越了一条包裹断崖，给后续像素累加一个 \(2\pi\)。它对光滑、连通的表面有效，但脆弱得令人不安——一旦遇到噪声造成的伪跳变、或物体上真实的高度断层（如本章的台阶），积分就会从某点起整体错一个或多个 \(2\pi\)，而且错误会沿扫描方向一路传播下去，无法自愈。
工业上更稳健的是双频/多频层级法（dual-/multi-frequency unwrapping）。它的思路是用两套不同周期的条纹：一套低频条纹周期足够大，整个视场内相位变化不足 \(2\pi\)，因而天然无歧义，可以直接定出”我大概在第几条纹”；另一套高频条纹周期小、相位斜率陡，提供最终的测量精度。图 32.3 是本章用的低频组（\(P=128\) px，是高频 \(P=32\) 的四倍）。具体地，先对低频包裹相位做一次空间展开得到低频绝对相位 \(\Phi_{\text{lo}}\)（低频场光滑，台阶引起的相位跳变仅约 \(0.6\) rad，远小于 \(\pi\)，空间展开不会出错），再用频率比 \(P_{\text{lo}}/P_{\text{hi}}=4\) 把它放大去预测高频绝对相位，逐像素取整定级数：
\[ \Phi_{\text{hi}} = \varphi_{\text{hi}} + 2\pi\,\operatorname{round}\!\Big(\frac{\Phi_{\text{lo}}\cdot(P_{\text{lo}}/P_{\text{hi}}) - \varphi_{\text{hi}}}{2\pi}\Big). \]
关键在于：级数 \(n\) 是逐像素独立算出来的，不靠邻域积分，因此一个像素的错误绝不会传染给邻居——台阶的真实断层被如实保留，而不是被”抹平”。这就是双频法压倒空间法的根本原因。图 32.4 是展开后的绝对相位，平滑单调，球冠的圆顶与台阶的方块清晰可辨。
解包裹还有另一条技术路线：时间相位解包裹（temporal unwrapping）。它不在空间邻域里找断崖，而是对同一像素沿时间投多套频率递增的条纹，用前一频率的绝对相位为后一频率定级。双频法是它最精简的两级特例。时间法的优点是逐点独立、抗断层；缺点是投影帧数翻倍，不适合高速运动场景——速度与稳健的经典权衡。
32.3 高度重建与精度
绝对相位到高度的最后一跃，是一个三角标定关系。在本章的成像模型里，投影坐标 \(u = x + c\cdot h\)，其中 \(h\) 是高度、\(c\) 是由投影仪—相机几何决定的三角测量常数（triangulation constant）（本例 \(c=4\) px/mm，即 1 mm 高度令条纹横移 4 px）。而绝对相位与投影坐标的关系是 \(\Phi = 2\pi u / P_{\text{hi}}\)，联立反解：
\[ h(x,y) = \frac{1}{c}\Big(\frac{\Phi_{\text{hi}}\,P_{\text{hi}}}{2\pi} - x\Big). \]
实测精度令人满意。在 \(A=120\)、\(B=80\)、噪声 \(\sigma=3\) 的条件下，球冠顶点重建为 5.994 mm，真值 5.994 mm；台阶高 2.999 mm，真值 3.000 mm——双双命中。图 32.5 是最终高度图。平坦底面上的 RMS 噪声底为 0.0338 mm，这就是该配置下的高度复现精度。
这个噪声底从何而来，又由什么决定？答案是结构光的命脉——调制度 \(B\)。对四步相移做误差传播，相位的标准差满足
\[ \sigma_\varphi \approx \frac{\sigma}{B}, \]
即相位噪声反比于条纹幅值。把 \(B\) 从 80 压到 15（约 \(5.3\) 倍），理论上相位与高度噪声应放大同样倍数。实验给出：\(B=15\) 时底面 RMS 升到 0.1823 mm，正是 \(B=80\) 时 0.0338 mm 的 5.4 倍——与理论预测的 5.3 倍几乎严丝合缝。这条 \(\sigma_\varphi\propto\sigma/B\) 的规律，把一个抽象的图像质量指标（条纹清不清晰）直接翻译成了高度精度。结构光的精度，本质上由调制度决定。凡是压低 \(B\) 的因素——暗表面、低反差投影、离焦、运动模糊——都会成比例地恶化三维精度。
\(\sigma_\varphi\approx\sigma/B\) 也解释了为何工业结构光系统要尽量投高对比条纹：投影仪亮度、镜头光圈、相机曝光，最终都服务于一个目标——在不饱和的前提下把 \(B\) 顶到最大。但”不饱和”这个前提至关重要，下一节会看到，一旦越界，灾难以另一种形式降临。
32.4 调制度、饱和与表面
既然 \(B\) 决定精度，一个自然的工程动作就是用调制度掩膜（modulation mask）把 \(B\) 过低的像素剔除——四步相移可顺带算出 \(B=\tfrac12\sqrt{(I_3-I_1)^2+(I_0-I_2)^2}\)，对它阈值化即可。在本章的”实拍”实验里，底面左下角嵌了一块反照率仅 0.18 的暗区，模拟黑漆或低反射表面。结果漂亮：以 \(B<20\) 为阈值，暗区像素 99.7% 被标记，而干净底面 零虚警——掩膜精准圈出了不可信区域。图 32.6 左为调制度图、右为二值掩膜。
但调制度掩膜有一个致命盲点：它挡不住饱和。实验在球冠顶部叠了一块镜面高光（增益 1.7 倍后被 255 截断），模拟金属反光。直觉上饱和会破坏正弦、降低调制度，掩膜应该抓得住——可实测饱和区被标记的比例是 0%。原因在于：四步相移的四幅图被同等地截断到 255，差分 \(I_3-I_1\)、\(I_0-I_2\) 在截断后仍保留相当的幅度，算出的 \(B\) 并未跌破阈值。于是掩膜以为这里”调制度良好、数据可信”，实则相位已被截断扭曲。后果是球冠顶点从 5.994 mm 偏到了 5.928 mm，饱和盘内 RMS 升到 0.1087 mm（相对干净区放大约 3.2 倍），而暗区 RMS 为 0.1911 mm。掩膜失效，唯有误差图能暴露真相——图 32.7 把重建误差画出来，误差恰好聚成两团：暗区和那块饱和高光盘，与掩膜漏掉的位置精确吻合。
这把不同表面对结构光的”适应性”摆上了台面。暗/低反照率表面压低 \(B\)、放大噪声，可由掩膜剔除；饱和高光在掩膜眼皮底下悄悄注入系统性偏差，必须靠曝光控制（避免越界）从源头预防（呼应 章节 4 的光照设计）；半透明与次表面散射会让条纹”晕开”、相位失真。还有一类表面结构光根本无能为力——镜面：光线被镜面反射走，相机接收不到落在表面的条纹，此时要换用偏折术（deflectometry，章节 35），它测的不是条纹位置而是表面法线对图案的偏折。没有一种三维方法通吃所有表面，结构光的边界，正是它的方法假设的边界（章节 30）。
32.5 SciVision 实现
本章原计划复用 SDK 的相移测量模块 SCIMV::SciSvPhaseMeasure，但实测其核心入口不可用，如实记录于此。DecodePatterns（四步相移解码）在我们尝试的全部 16 种调用变体下——8U 与 32F 输入、是否先 InitPMD、UNDEF 与全图矩形 ROI、是否补一组 Y 方向条纹——均返回 rc=0 却无任何输出：相位图、灰度图、调制度图全是 \(0\times0\) 空对象，DLL 还向 stderr 打一句 “Directory does not exist.”（疑似缺运行时资源目录）。依赖其输出的 CalUnPhase（空间解包裹）随之同样不可用。因此整条流水线全部手写。核心只有两段，却是本章算法的全部：
// 1. 四步相移包裹相位 + 调制度（A、B 在差分中被消去，只剩相位）
for (size_t i = 0; i < (size_t)W * H; ++i) {
double s = (double)im[3][i] - im[1][i]; // = 2B*sin(phi)
double c = (double)im[0][i] - im[2][i]; // = 2B*cos(phi)
phi[i] = std::atan2(s, c); // 包裹相位 [-pi, pi)
mod[i] = 0.5 * std::sqrt(s * s + c * c); // 调制度 ~ B
}
// 2. 双频层级解包裹：低频绝对相位 *4 预测高频级数，逐像素取整（不靠邻域积分）
const double ratio = P_LO / P_HI; // 128/32 = 4
for (size_t i = 0; i < abs.size(); ++i)
abs[i] = wHi[i] + TWO_PI * std::round((uLo[i] * ratio - wHi[i]) / TWO_PI);第一段直接落实 小节 32.1 的反正切公式：im[k] 是第 \(k\) 幅相移图，s、c 分别正比于 \(\sin\varphi\)、\(\cos\varphi\)，atan2 给出包裹相位，顺带由两者的模长得到调制度。第二段是 小节 32.2 的层级法：uLo 是空间展开过的低频绝对相位，乘频率比 4 后预测高频绝对相位，std::round 把每个像素独立归到最近的 \(2\pi\) 整数倍。完整可运行工程见 code/structured_light/，包括条纹合成、低调制重跑与实拍陷阱实验。
工业案例：锡膏检测的反光与黑油墨
PCB 焊膏印刷检测（SPI，Solder Paste Inspection）是结构光三维的经典战场——要逐点测出每块锡膏的体积，直接关系焊接良率。难点恰是本章的两难同框：刚印上的锡膏呈金属光泽、极易镜面反光而饱和；旁边的黑色阻焊油墨反照率极低、几乎吞光。若按锡膏调曝光，黑油墨区相位淹没在噪声里；若按黑油墨调曝光，锡膏高光饱和、注入系统性高度偏差——而饱和又骗过调制度掩膜，偏差悄无声息。
实战对策是HDR 多曝光融合条纹（呼应 章节 12）：对每个相移相位投多档曝光，逐像素挑选未饱和且调制度最高的那一档合成，让锡膏与黑油墨各取所需。教训朴素而深刻：结构光的整场精度，由全场最差的那块调制度决定——优化必须面向最弱表面，而非平均表面。
32.6 小结
- 缺纹理就主动投上去。双目靠表面纹理找对应，光面物体会让它失效；结构光投出可控的”人造纹理”，把高度编码进条纹相位，实现稠密三维重建。
- 相位比强度鲁棒。四步相移 \(\varphi=\operatorname{atan2}(I_3-I_1,\,I_0-I_2)\) 把背景光 \(A\) 与条纹幅值 \(B\) 一并消去，相位对增益、环境光、反照率不敏感——这是测量稳定的根基。
- 包裹必解，双频最稳。\(\operatorname{atan2}\) 的 \(2\pi\) 模糊须靠解包裹消除；空间法逐点积分、断层即崩，双频/多频层级法逐像素定级、抗断层，是工业标准。
- 调制度是命脉。高度噪声 \(\sigma_\varphi\propto\sigma/B\)，实测 \(B\) 降 5.3 倍、误差升 5.4 倍；一切压低 \(B\) 的因素都按比例恶化精度。
- 掩膜挡不住饱和。调制度掩膜能精准剔除暗区（99.7%、零虚警），却对饱和盲视（0% 标记）——饱和不降调制度却扭曲相位，唯误差图能暴露；防饱和要靠曝光控制与 HDR，而非事后掩膜。
关于结构光编码图案的系统分类，可参阅 Salvi 等人的综述 (Salvi 等 2010)；条纹投影轮廓术的发展脉络与关键问题见 Gorthi 与 Rastogi 的评述 (Gorthi 和 Rastogi 2010)，Geng 的教程 (Geng 2011) 则对结构光三维成像各类方法做了系统而易读的梳理。相移轮廓术与多频解包裹在工业实现中的细节另可参阅 Steger 等人的著作 (Steger, Ulrich, 和 Wiedemann 2018)。