6 空间滤波

如果你把工业相机对准一块静止的、被均匀照亮的灰板，连续采集两帧图像并相减，你会发现差值并不是零：每个像素都在一个小范围内随机跳动。这就是图像噪声（image noise）。它来自传感器的暗电流与读出电路、来自为弥补照度不足而调高的模拟增益、来自电源纹波引起的照明波动，有时还来自镜头或保护玻璃上的灰尘。在实验室里这些扰动也许无伤大雅，但在产线上，噪声会直接撼动后续算法的根基：边缘定位会在噪声处产生虚假响应，阈值分割会冒出成片的碎斑，亚像素测量的重复精度会随之恶化。因此，空间滤波（spatial filtering）几乎总是定位与测量之前的第一道工序——在像素邻域内做一次恰当的”平均”，把随机扰动压下去，同时尽量保住我们真正关心的结构。

本章使用一幅合成的测试场景来贯穿所有实验：均匀的亮背景上有一个暗矩形（提供阶跃边缘），上方还有一条仅 2 个像素宽的细亮线（模拟细小结构，例如一道划痕或一根引线）。图 6.1 展示了原始场景，以及叠加两种典型噪声后的样子。

6.1 图像噪声模型

要选对滤波器，先要弄清楚噪声长什么样。机器视觉中最常见的模型是加性高斯噪声（additive Gaussian noise）：观测图像 \(g\) 等于真实图像 \(f\) 加上一个随机扰动，

\[ g[n,m] = f[n,m] + \eta[n,m], \qquad \eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2). \]

每个像素都被污染，但污染量通常不大——大部分扰动落在 \(\pm 2\sigma\) 以内。它的物理来源是传感器的暗电流噪声、读出噪声以及放大增益带来的电子噪声：这些因素是大量微小独立扰动的叠加，按中心极限定理，其总和趋于高斯分布。图 6.1 (b) 正是这种情形——图像处处”起毛”，但没有哪个像素被彻底破坏。

另一类常见噪声是椒盐噪声（salt-and-pepper noise），又称脉冲噪声（impulse noise）：少数像素被随机替换成最小值（“胡椒”，0）或最大值（“盐”，255），其余像素完全不受影响。它的来源包括传感器坏点、相机到工控机之间的传输误码，以及某些强反光表面上镜面反射造成的孤立过曝点。图 6.1 (c) 中那些散落的黑白小点就是典型的椒盐噪声——注意被污染的像素与真实值毫无关系，误差幅度可以高达整个灰度范围。

为什么两种噪声需要不同的滤波器？高斯噪声是”人人都错一点点”，把邻域平均起来即可让误差互相抵消；椒盐噪声是”少数人错得离谱”，平均反而会把离谱的值扩散给邻居，正确的做法是把离群值剔除——这正是中值滤波所做的事。

这两种模型的差别绝不只是数学趣味：它直接决定了滤波器的选择。对高斯噪声而言，每个像素的观测值都”大致正确”，把邻域内的值平均起来，独立的零均值误差会相互抵消，估计随之改善——线性滤波是天然的选择。对椒盐噪声而言，被污染的像素携带的不是”带误差的信息”而是纯粹的垃圾，把垃圾纳入平均只会污染原本干净的邻居；我们需要的是能识别并丢弃离群值的非线性手段。本章后面的实验会反复印证这一点。

6.2 线性滤波与卷积

线性空间滤波的统一数学形式是卷积（convolution）。给定输入图像 \(f\) 和一个小的权重模板——称为卷积核（kernel）\(h\)，输出图像为

\[ g[n,m] = \sum_{k,l} f[n-k,\, m-l]\, h[k,l]. \]

直观地说，输出在 \((n,m)\) 处的值，是以该点为中心的一小块输入邻域与核权重的加权和。核决定了滤波器的全部性格。

最朴素的核是均值滤波（mean filter）核：一个 \(K\times K\) 的窗口，每个权重都等于 \(1/K^2\)。例如 \(3\times 3\) 均值核为

\[ h = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}. \]

注意系数前的归一化因子：核所有权重之和称为滤波器的直流增益（DC gain）。把权重归一化使其和为 1，意味着滤波一幅恒定灰度的图像会原样输出——图像的平均亮度不被改变。这一点在测量场合尤其重要：如果滤波顺手把整体灰度抬高或压低了，后续依赖灰度阈值或灰度插值的算法都会被牵连。

均值核对窗口内所有像素一视同仁，而高斯滤波（Gaussian filter）按距离递减地分配权重——离中心越远的像素，对输出的影响越小：

\[ h[n,m] = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\!\Big(-\frac{n^2+m^2}{2\sigma^2}\Big). \]

参数 \(\sigma\) 控制平滑的空间尺度：\(\sigma\) 越大，参与平均的有效邻域越宽，去噪越强，但图像也越模糊。与均值核相比，高斯核的频率响应单调下降、没有旁瓣振铃，平滑效果更”干净”，因此是线性去噪的默认选择。在离散实现中，我们对连续高斯函数采样后再除以采样值之和，以保证直流增益恰好为 1。

实践中还有两个工程要点。第一，核尺寸与 \(\sigma\) 要匹配。高斯函数理论上无限延伸，但在 \(3\sigma\) 之外幅值仅约为中心值的 1%，故通常按 \(K \approx 6\sigma\)（取最近的奇数）截断：\(\sigma=1.2\) 配 \(7\times 7\) 左右的核就足够了。核取得太小会把高斯”削肩”，太大则白白浪费计算。第二，高斯核是可分离的（separable）：二维高斯恰好等于一维水平高斯与一维垂直高斯的乘积，因此一次二维卷积可以拆成先做一遍水平一维卷积、再做一遍垂直一维卷积，结果完全相同。

可分离性的收益：\(K\times K\) 的二维核每个像素要做 \(O(K^2)\) 次乘加，拆成两个一维核后只需 \(O(2K)\) 次。\(K=7\) 时是 49 比 14，\(K=15\) 时是 225 比 30——核越大省得越多。商用视觉库的高斯滤波内部几乎都这样实现。

6.3 非线性滤波

线性滤波有一个绕不过去的局限：它无法区分”噪声”与”边缘”——两者都是高频成分，要压制前者就必然钝化后者。非线性滤波器跳出了加权平均的框架，从而获得了线性方法做不到的能力。

中值滤波（median filter）是其中最重要的一员。它不做加权和，而是把窗口内的像素值排序，取中位数作为输出：

对输出图像的每个像素 (n, m)：
    取以 (n, m) 为中心的 K×K 邻域内全部像素值
    将这些值从小到大排序
    输出 ← 排序后位于正中间的那个值（中位数）

中位数对离群值天然免疫：窗口里混入几个 0 或 255 的坏点，只要它们占不到半数，排序后就被挤到队列两端，根本轮不到当输出。这正是椒盐噪声的克星。同时，中值滤波跨过一条阶跃边缘时，窗口内多数像素来自边缘的某一侧，输出直接取那一侧的代表值——边缘保持锐利，不会像线性滤波那样被拖出一条过渡带。它的代价我们留到实验一节再揭示。

双边滤波（bilateral filter）(Tomasi 和 Manduchi 1998) 则把”保边”的思想引入了加权平均的框架。它给每个邻居 \(\mathbf q\) 分配的权重是两个高斯因子的乘积：

\[ g[\mathbf p] = \frac{1}{W_{\mathbf p}} \sum_{\mathbf q \in S} G_{\sigma_s}\!\big(\|\mathbf p-\mathbf q\|\big)\; G_{\sigma_r}\!\big(|f[\mathbf p]-f[\mathbf q]|\big)\; f[\mathbf q], \]

其中 \(W_{\mathbf p}\) 是权重之和（保证直流增益为 1），\(G_{\sigma_s}\) 是空间域高斯，\(G_{\sigma_r}\) 是灰度域（range）高斯。直觉非常清楚：一个邻居要想对输出有发言权，必须同时满足两个条件——离得近（空间高斯给高权）且长得像（灰度与中心像素接近，灰度高斯给高权）。在平坦区域，邻居们灰度相近，双边滤波退化为普通高斯平滑，噪声被有效抑制；在边缘附近，对侧像素灰度差大，灰度高斯把它们的权重压到近零，平均只在边缘同侧进行——边缘因此原封不动。\(\sigma_r\) 划定了”自己人”的界线：灰度差小于约 \(2\sigma_r\!\sim\!3\sigma_r\) 的邻居参与平均，超过的被视为”另一侧”而排除。

6.4 实验对比

现在让四种滤波器同台竞技。先看高斯噪声（图 6.1 (b)）下的表现，四种滤波结果见图 6.2。

均值与高斯滤波都明显压低了颗粒感，验证了”平均抵消独立误差”的原理；代价同样明显——矩形边缘被拖出一圈灰色过渡带，那条 2 px 的细亮线也变暗、变粗了，因为它的亮度被摊给了周围的背景像素。两者相比，相同尺寸下高斯滤波的边缘退化稍轻，这是其权重向中心集中的结果。中值滤波把矩形边缘保持得相当锐利，但请注意细亮线：它几乎被抹掉了——这个现象我们马上单独讨论。表现最均衡的是双边滤波：背景噪声被抚平，矩形边缘干脆利落，细亮线也完好保留，因为线与背景的灰度差（约 70 个灰度级）远超 \(\sigma_r=30\) 的”自己人”门槛，线上像素只与线上像素平均。对高斯噪声而言，双边滤波是保边去噪的最佳选择。

换成椒盐噪声（图 6.1 (c)），结论几乎完全反转，见图 6.3。

均值与高斯滤波的结果令人失望：脉冲没有消失，而是被”抹开”了——每个 0 或 255 的坏点把自己的极端值分摊给整个窗口，变成一个个直径约 5 px 的浅色或深色软斑，整幅图像反而显得脏兮兮的。中值滤波则展现出压倒性优势：黑白坏点被悉数剔除，背景恢复均匀，矩形边缘依旧锐利，结果干净得近乎原图。这正是小节 6.1 末尾论断的直观印证——对离群值，要剔除，不要平均。

最值得记住的是双边滤波的表现：它对椒盐噪声几乎无效。对照图 6.3 (d) 与图 6.1 (c)，坏点几乎原封不动地留在原地。原因并不神秘，却常被误解：一个值为 255 的盐点与周围灰度约 180 的背景相差 75 个灰度级，远超 \(\sigma_r=30\) 的相似性门槛——于是在双边滤波眼里，这个坏点是一块”与众不同的小结构”，邻居们都不是它的”自己人”，它只与自己平均，自然保持原值。双边滤波的保边机制恰好成了脉冲噪声的保护伞。遇到椒盐噪声，请直接选中值滤波。

不过中值滤波也有自己的账单。再仔细对照图 6.1 (a) 的原图看图 6.3 (c) 和图 6.2 (c)：那条 2 px 宽的细亮线在两幅中值结果里都消失了。道理与坏点被剔除一模一样——在 5×5 的窗口里，细线最多贡献 \(2\times 5=10\) 个像素，不足 25 个像素的半数，排序后永远占不到中位，于是被当成”较大的噪声”清除了。中值滤波保边，但不保细结构：凡是宽度小于窗口半宽的线状或点状结构，无论是噪声还是真实目标，一律被抹除。由此得出一条硬性约束：中值核的尺寸必须小于需要保留的最小结构宽度（的两倍）——若细线宽 2 px，3×3 的中值核尚可保它一命，5×5 就会把它连同噪声一起带走。滤波器不认识”缺陷”与”噪声”，它只认识尺寸。

6.5 SciVision 实现

本章四种滤波器在 SciVision SDK 中由 SCIMV::SciSvFilter 类提供，调用方式如下：

SCIMV::SciSvFilter f;
SciImage dst;
f.Mean(src, roi, &dst, 5, 5);
f.Gaussian(src, roi, &dst, 5, 5, 1.2, 1.2);
f.Median(src, roi, &dst, 5, 5);
// Bilateral(核直径9, 空间σ=3.0, 灰度σ=30.0)：灰度差超过≈3σ的邻居权重趋零，因而保边
f.Bilateral(src, roi, &dst, 9, 3.0, 30.0);

各接口的公共参数中，src 为输入图像，roi 限定处理区域（产线程序通常只滤波检测区域以节省时间），dst 接收输出。滤波器专有参数的含义如下。

Mean / Median 的 kernelSizeX、kernelSizeY（上例均为 5）分别是窗口的宽与高，须为奇数以保证窗口有中心；两者可以不同，例如用 (9, 3) 的扁窗口对水平条纹噪声做方向性抑制。
Gaussian 在窗口尺寸之外还接受 sigmaX、sigmaY（上例均为 1.2），即水平与垂直方向的高斯标准差。记住小节 6.2 的匹配法则：窗口边长宜约等于 \(6\sigma\)，上例 \(\sigma=1.2\) 配 5×5 属于略紧的截断，工程上可接受。
Bilateral 的三个参数依次是 kernelSize（邻域直径，上例为 9）、space_sigma（空间域 \(\sigma_s\)，控制”离得近”的尺度，上例 3.0 与直径 9 满足 \(d\approx 3\sigma_s\) 的常用配比）和 color_sigma（灰度域 \(\sigma_r\)，控制”长得像”的门槛，上例 30.0 意味着灰度差超过约 90 的邻居权重趋零，因而 70 级以上的阶跃边缘被几乎完整保留）。

生成本章全部实验图像的完整可运行工程位于 code/spatial_filtering/，读者可以修改噪声强度与滤波参数自行复现。

工业案例：金属件划痕检测的预处理

某金属冲压件检测项目中，喷砂工件表面形成大量孤立高亮反光点，统计特性接近椒盐噪声。初期用高斯滤波做预处理，反光点被抹成浅灰软斑，与划痕难以区分，误检率高；改用 3×3 中值滤波后，反光点被干净剔除，划痕边缘保持锐利，误检率大幅下降。后续”优化”将中值核扩大到 7×7，产线随即漏检细划痕——划痕宽度仅 2～3 px，小于窗口半数占比，被当成噪声移除，这正是本章细亮线实验的现场翻版。经验法则：核取噪声颗粒直径的 2～3 倍，且必须小于最小缺陷宽度的两倍；两者冲突时优先保缺陷，残余噪声交给后续面积筛选处理。

6.6 小结

本章的要点可以浓缩为以下几条。

先认噪声，再选滤波器。高斯噪声是”人人小错”，适合平均类的线性滤波；椒盐噪声是”少数大错”，必须用中值类的剔除手段。
线性滤波的核应归一化为直流增益 1，以保持图像平均亮度不变；高斯核按 \(K\approx 6\sigma\) 截断，并利用可分离性把计算量从 \(O(K^2)\) 降到 \(O(2K)\)。
双边滤波 = 空间邻近 × 灰度相似的双重加权，是高斯噪声下保边去噪的最佳选择；但孤立脉冲会被它当作”边缘”保护起来，对椒盐噪声几乎无效。
中值滤波保边但不保细结构：宽度不足窗口半数占比的细线与小点会被连同噪声一起抹除，核尺寸必须小于需要保留的最小结构宽度的两倍。
滤波参数是测量精度的一部分：核的尺寸、\(\sigma\) 的大小都应根据噪声尺度与最小目标尺寸来定，而不是”越大越干净”。

空间滤波的系统理论（线性滤波、统计排序滤波及其与频域的联系）可参阅 Gonzalez 与 Woods 的经典教材 (Gonzalez 和 Woods 2018)；双边滤波的原始构造见 Tomasi 与 Manduchi 的论文 (Tomasi 和 Manduchi 1998)，本章正文已多次引用；各向异性扩散这一保边平滑的代表性进阶方法，源头是 Perona 与 Malik 的工作 (Perona 和 Malik 1990)。关于平滑滤波器在工业检测流水线中更系统的讨论，可进一步阅读 Steger 等人的著作 (Steger, Ulrich, 和 Wiedemann 2018)。