Gaussian Curvature Filter on 3D Meshes

问题背景

由三维扫描等方式获取的三角网格往往带有噪声，而含噪网格的高斯曲率高于对应的无噪声模型。因此，降低高斯曲率即可对网格进行平滑和去噪；若高斯曲率处处为零，得到的就是可展曲面——它能够无畸变地展开到平面上，也便于工业制造。

最小化高斯曲率的经典方法是高斯曲率流，但它存在两个问题。其一，它需要显式计算高斯曲率，这隐含地假设曲面二阶可微，而实际网格很难满足这一条件。其二，为保证数值稳定，它的时间步长必须很小，因而速度很慢；在论文的实验中，步长还需针对不同网格分别调节。专门的去噪方法大多基于顶点或面法向，同样有其困难：需要人工设定大量参数并依赖较强的先验假设，而且在处理纹理丰富的模型时，去噪过程容易破坏原有特征。

方法原理

该滤波器建立在一个观察之上：在可展曲面上，任意一点附近总存在另一点位于其切平面上，且两点可以任意接近（论文定理 1）。因此，只要移动某个顶点，使它的某个邻点落在其切平面上，就能降低该顶点处的高斯曲率；若已有邻点位于切平面上，顶点则无需移动。整个过程从不计算高斯曲率本身，也不需要二阶导数。

1. 切平面上的邻点。 在柱面、锥面、切线曲面这类可展曲面上，点 x 附近总有一点 x₀ 位于其切平面上。在离散网格上，这个点未必恰好是顶点，因此滤波器把一环邻域顶点（与该顶点直接相连的顶点）都作为候选，并取其中之一作为近似。
2. 区域分解。 通过着色（算法 1）为每个顶点分配一个与其所有邻点都不同的标签。各颜色集合依次更新，从而保证某一顶点移动时，其一环邻域顶点保持不动。这正是迭代得以收敛的前提；同时，这些相互独立的集合也便于并行实现。
3. 无约束的移动距离。 对顶点 v_i，计算各一环邻点到 v_i 切平面的距离，取绝对值最小者作为移动距离 |d|。
4. 带约束的移动距离。 为保持特征，还需用到各邻点的法向（由该邻点相邻两条边的叉积单位化得到）。将 v_i 到各邻点的每条边分别投影到 v_i 的法向和每个邻点的法向上，对五个邻点的一环邻域共得到 5 条边 × 6 个法向（v_i 的法向加 5 个邻点法向）= 30 个距离，取其中绝对值最小者。对于位于平面、棱边或角点上的顶点，总有某个法向与某条边垂直，于是 |d| = 0，顶点保持原位。
5. 顶点更新。 顶点移动到 v′ = v + |d|·δ，其中 δ 是微分坐标（顶点减去其邻点质心）反方向的单位向量，近似于法向的反方向。边界顶点不移动。对所有颜色集合按设定的迭代次数（滤波器唯一的参数）反复更新，整个网格的高斯曲率随之降低。

实验结果

论文检验了两方面的性质。在高斯曲率最小化方面，作者在 Max Planck 头像和 Vase 两个网格上与高斯曲率流进行比较，分别测试无噪声和加入 0.3 倍平均边长 l_e 噪声的情形。两种投影策略降低高斯曲率能量的速度都快于曲率流。不加约束时，滤波器约 10 次迭代即收敛，但会丢失细节，角度误差在快速下降后又回升；加入约束后，约 40 次迭代收敛，能在去噪的同时保留细节。与 Stein 等人的可展性方法（SIGGRAPH 2018）相比，二者在无噪声网格上结果相近，而滤波器得到的能量更低。在含噪 bunny 上，滤波器的高斯曲率能量为 83.48（对方为 323.21），MSAE 为 11.86（对方为 12.59），耗时 37.90 s（对方为 1571.10 s）（表 2）。在含噪 mask 上，Stein 等人的方法产生了奇异点，而滤波器没有（图 7）。

在去噪实验中，滤波器迭代 40 次，七种基于优化和基于滤波的对比方法均使用默认参数。除 MSAE 最低外，滤波器在四个网格上的高斯曲率能量也都是所有方法中最低的；论文认为较低的 MSAE 说明其几何特征保持得最好。在两个含未知噪声的真实扫描模型（angel 和 rabbit）上，它同样能在去除噪声的同时保持几何特征（图 13 和图 14）。若不加几何约束，滤波器虽能去噪，却无法保持特征。作者计划在未来研究并行版本的滤波器，以便在 GPU 上处理超大规模网格。