Surface Smoothing based on Discrete Orthogonal Polynomial

问题背景

三角网格是表示三维物体的一种通用方式，在逆向设计、快速成型、3D 打印和虚拟仿真中都有广泛应用。然而，通过三维测量得到的网格会带有扫描和数字化过程中引入的噪声，必须在预处理阶段去除。难点在于，去噪的同时要尽可能保留尖锐边等几何特征。

早期的光顺方法是各向同性的，无法保持这类特征：例如简单快速的拉普拉斯光顺还会使曲面收缩。各向异性方法效果更好，其中许多方法先对面片法向做平滑，再更新顶点；在去噪过程中区分特征的方法往往只关注局部邻域，容易受噪声干扰；而 L0 最小化等稀疏方法虽能保持特征，却要面对非凸且缓慢的优化过程。

方法原理

本方法同样先平滑法向、再移动顶点，但做了两处改动。一是面片法向不再由单个面片或其直接邻域估计，而是由非局部相似结构估计，即在更大邻域内与其朝向一致的面片组。二是用正交多项式对这些法向进行拟合滤波，不同阶的正交多项式彼此互不干扰。

1. 局部结构的法向张量。 单个带噪面片的法向可能不够准确。对每个面片，其周围 r 圈邻接面片（r 邻域）内的面片按距离和法向夹角加权，投票构成法向张量；最大特征值对应的特征向量即为该局部结构的代表方向。
2. 同向局部结构。 法向与该方向夹角超过阈值 θth 的面片被剔除，从而去掉结构中误差较大的面片。噪声越大的模型，阈值设得越大。
3. 非局部相似结构。 将搜索范围扩大到 R 邻域（R > r），其中与当前结构夹角不超过 θth（高噪声取 40°，低噪声取 20°）的同向结构，都被加入该面片的非局部相似结构集合。
4. 正交多项式滤波。 将这些结构的面片法向作为行堆叠成矩阵，并重排为近似方阵（n × 3 的矩阵秩至多为 3，重排使低秩拟合有意义）。在 [−1, 1] 上构造 X、Y 两个方向的离散 Legendre 多项式基，用它们拟合该矩阵。结构之间有重叠时，对每个面片的估计累加后再除以该面片被使用的次数，得到更新后的法向。
5. 顶点更新。 每个顶点根据周围面片更新后的法向移动，网格经多次迭代完成更新。

实验结果

对比方法共七种：L0 最小化、双边法向滤波（BNF）、单边法向滤波（UNF）、引导法向滤波（GNF）、L1 中值滤波、半核拉普拉斯算子（HLO），以及分割驱动的特征保持滤波（SNF）。合成测试网格通过添加零均值高斯噪声得到，其标准差 σn 与平均边长 lₑ 成正比。与真值比较的误差有两项：基于顶点的位置误差 Ev，以及面片法向的均方角度误差 MSAE。本方法在 Cube 上两项指标均最低，在 Fandisk 和 Cad 上各有一项最低；Fandisk 的 MSAE 以 L0 最小化最低，Cad 的 Ev 以 SNF 最低。在 Octaflower 上，SNF 的 Ev 和 MSAE 均最低（L1 的 Ev 与之并列），而论文中的局部放大图表明本方法能够保留局部特征。

在 Angel 模型的原始扫描数据上，本方法略逊于 SNF，但在去噪和特征保持上优于其余方法。在同一个扫描 Bunny 模型上加入三档噪声后，本方法在 0.1 和 0.3 时表现良好，在 0.5 时则存在一定局限。作者指出，与其他方法一样，本方法对过强噪声和不规则三角剖分的鲁棒性有限；作为后续工作，他们提出先对网格分区，再分别对特征部分（角点和边）与非特征部分拟合正交多项式。